Spiele mit nonkonstanten Summen und n Spielern

In den bisherigen Situationen, die wir analysiert haben, kamen nur zwei Spieler vor. Dies allerdings ist eine Beschränkung, die sich für die meisten realen Probleme nicht so einfach unterstellen lässt. Daher ist es notwendig auch Analysemethoden für Spiele mit mehr als zwei Spielern einzuführen.

Angenommen es ist bekannt, dass es die Möglichkeit gibt ein neues Herzmedikament zu entwickeln. Nach geltendem Recht wäre dieses Medikament nicht patentierbar, sodass theoretisch unendlich viele Unternehmen den Wirkstoff entwickeln und produzieren könnten. Allerdings gilt, dass ein Unternehmen, dass die Substanz früher entdeckt hat als ein anderes, höheres Vertrauen bei den Menschen und damit eine größere Marktmacht genießt. Das bedeutet, das das Unternehmen, welches das Medikament als erstes entdeckt, auch die höchsten Profite erzielen kann.  Folgende Tabelle soll dieses darstellen:

Das heißt also, dass das erste Unternehmen, dass das Medikament entdeckt 20 Mio € Erträge einfahren kann, das zweite 10 Mio €, usw. Ein siebtes Unternehmen hätte keine Chance mehr sich am Markt zu bewähren.

Nehmen wir an, dass es insgesamt sieben Biotechnologiefirmen gibt, die theoretisch in der Lage sind, dieses Medikament zu entwickeln. Bei jedem Unternehmen besteht allerdings nur eine Chance von 50%, dass es die Substanz auch tatsächlich zur Marktreife bringen kann, denn die Forschung ist sehr komplex und es kann passieren, dass in der klinischen Testphase Komplikationen auftreten und die Forschung dann sofort beendet werden muss. Wir unterstellen, dass das Unternehmen dann auch nicht mehr von vorne mit der Entwicklung anfängt, da das Vertrauen in der Öffentlichkeit zu stark geschädigt ist. In jedem Fall muss jedes Unternehmen, dass sich dazu entschließt in die Entwicklung einzusteigen 1 Mio € an Forschungskosten zahlen, ganz egal ob es das Medikament auch auf den Markt bringen kann.

Des Weiteren wollen wir annehmen, dass alle Unternehmen die gleiche Forschungsdauer haben, d.h. das Unternehmen, welches als erstes mit der Forschung anfängt, kann sein Medikament auch, soweit die Forschung erfolgreich war, als erstes auf den Markt bringen.         

Zunächst hat sich noch kein Labor für die Erforschung des Wirkstoffes entschlossen. Eine der sieben Biotechfirmen analysiert nun den Markt und stellt fest, dass eine Investition einen Erwartungswert von 10.000.000€ hätte (20 Mio € *0,5), bei Kosten von nur 1 Mio. €, also einen Erwartungswert für den Gewinn von 9 Mio €. Demzufolge wird sich das Unternehmen zum Einstieg in die Forschung entscheiden. Ein zweiter Einsteiger hätte einen Erwartungswert von 5 Mio €, was auch die Kosten übersteigt, weshalb auch dieses einsteigen wird, ebenso ein drittes mit 3,5 Mio €, ein viertes mit 2,5 Mio € und ein fünftes mit 1,5 Mio € Erwartungswert. Ein sechstes Unternehmen dagegen hätte nur einen Erwartungswert von 0,5 Mio € was geringer als die Kosten ist, folglich wäre es nicht rational für das Unternehmen auch in den Markt einzusteigen. Demzufolge liegt das Nash-Gleichgewicht für den Markt bei einer Situation in der 5 Unternehmen die Forschung aufnehmen.

Nun nehmen wir an, dass die Firmen die Wahrscheinlichkeit mit der sie das Medikament nicht auf den Markt bringen können durch höhere Investitionen, z.B. in kompetentere Forscher, leistungsfähigere Maschinen, etc. senken können. Es gilt nun folgende Regel für die Abhängigkeit der Erfolgswahrscheinlichkeit von der Höhe der Investition:

Für das Unternehmen, dass als erstes in den Markt eintritt ergibt sich der beste Erwartungswert für den Gewinn bei einer Investition von 4Mio €, 5 Mio € oder 6 Mio €, denn in allen Fällen beträgt dieser 12 Mio €. Das zweite Unternehmen erhält  einen maximalen Erwartungswert von 4 Mio € bei einer Investition von 3 oder 2 oder 1 Mio €, während das dritte Unternehmen seinen höchsten Erwartungswert mit 2,5 Mio € bei einer Investition von 1 Mio €, das vierte ...

Die folgende Tabelle zeigt, welche Investition für die Unternehmen in der Reihenfolge optimal ist und welchen Erwartungswert für den Gewinn diese bringt:

Es ist also weiterhin der Fall, dass ein für alle Unternehmen profitabler Markt entsteht, wenn 5 Unternehmen eintreten. Es gibt nun mehrere Nash-Gleichgewichte, denn manche Unternehmen können durch verschiedene Investitionen den gleichen Erwartungswert erreichen. Also sind alle Nash-Gleichgewichte gleichwertig.

Straßen sind ein Gut, dass von jedem frei genutzt werden kann (von der Ausnahme, dass die Benutzung von Autobahnen in verschiedenen Ländern nicht kostenlos ist, sehen wir hier einmal ab). Nehmen wir einmal an, dass N Pendler nur zwei Möglichkeiten haben zur Arbeit zu kommen: den Bus oder das Auto. Dabei gilt, dass die Straßen immer voller und somit schlechter befahrbar werden, je mehr Menschen sich für das Auto entscheiden. Demzufolge sinkt der Ertrag von denen die mit Bus und Auto fahren mit einer zunehmenden Anzahl von Menschen, die sich für das Auto entscheiden. Allerdings sehen die Pendler wegen der stärkeren Mobilität und Geschwindigkeit einen höheren Payoff für das Auto im Vergleich zum Bus. Die Verminderung des Payoffs, wenn ein zusätzlicher Pendler sich dazu entscheidet mit dem Auto zu fahren ist aber bei beiden Verkehrsmitteln gleich. Wenn man also einen Graphen zeichnen würde, der den Payoff des jeweiligen Verkehrsmittels in Abhängigkeit von der Anzahl der Pendler, die das Auto nutzen, darstellt erhält man für die beiden Funktionen zwei Parallelen. Dabei haben aber für jede Anzahl von Autofahrern die Autofahrer einen höheren Payoff als diejenigen, die mit dem Bus fahren. Daher ist es eine dominante Strategie das Auto zu nehmen. Es entsteht ein Gleichgewicht in dominanten Strategien, bei dem alle Pendler mit dem Auto fahren. Da wir in dem Modell unterstellt haben, dass die Anzahl derjenigen, die mit dem Bus fahren den Payoff der beiden Verkehrsmittel für die Pendler nicht beeinflusst, wird ein viel geringerer Payoff für jeden einzelnen erreicht, als wenn sich alle für den Bus entschlossen hätten.  Dieses Problem, man könnte es auch als abgewandeltes Gefangenendilemma mit N Personen bezeichnen, nennt man "Tragödie der Allmende". Sie beweist, dass öffentlich zur Verfügung gestellte Ressourcen übermäßig durch das Gewinnstreben der einzelnen beansprucht werden und somit insgesamt ein geringerer Ertrag entsteht, als dies sein könnte, wenn alle die Ressource weniger stark beanspruchen, wenn also eine Koordination stattfinden würde.