Nullsummenspiele

Kommen wir nun zu einem anderen Beispiel. Angenommen zwei Autofirmen stehen im Wettbewerb gegeneinander. Beide haben die gleichen festen Kosten und zwar 1 Mrd. € pro Geschäftsperiode. Die Firmen können ihre Modelle entweder zu einem Preis von 10.000€ oder 20.000€ anbieten. Bei einem Preis von 10.000€ können 200.000 Autos verkauft werden, sodass es zu einem Umsatz von 2 Mrd. € kommt, bei einem Preis von 20000€ können 100.000 Autos verkauft werden, es ergibt sich wieder ein Umsatz von 2 Mrd. €. Wenn die beiden Firmen unterschiedliche Preise wählen, verkauft nur das Unternehmen mit dem geringeren Preis etwas, wählen beide den gleichen Preis, spaltet sich der Markt in zwei gleich große Teile auf und jedes Unternehmen verkauft gleich viel. Man erhält also folgende Payoff-Matrix für die Gewinne (=Umsatz -  feste Kosten) der Autofirmen:

Abgesehen davon, dass dies ein sehr unrealistisches Preismodell ist, fällt auf, dass man, wenn man die Payoffs für beide Firmen addiert, in jeder Zelle den Wert Null erhält. Das heißt, was das eine Unternehmen gewinnt, verliert das andere. In einem solchen Fall spricht man von einem Nullsummenspiel.

Beispiele für Nullsummenspiele sind auch Poker (der Geldbetrag, den ein Spieler gewinnt, stammt von den anderen), Lohnverhandlungen (mehr Gehalt = mehr Geld für Arbeitnehmer, gleicher Betrag weniger für Arbeitgeber, wenn man Steuern, Lohnnebenkosten nicht berücksichtigt) oder auch verschiedene Finanzinstrumente wie z.B. Futures, bei denen einer der beiden Händler auf steigende und der andere auf fallende Kurse einer Aktie setzt und sich nach Ablauf einer vereinbarten Zeit der Payoff der beiden Händler durch den Aktienkurs ermittelt und der eine das verdient, was der andere zahlen muss.

In einem Zwei-Personen-Nullsummenspiel ist es rational, diejenige Strategie auszuwählen, die den minimalen Payoff maximiert. Dies ist die so genannte Maximin-Strategie. An unserem Autofirmen-Beispiel wird dies deutlich: Wenn eine Firma einen Preis von 20000€ wählt, fährt sie entweder einen Verlust von 1Mrd. Euro oder ein ausgeglichenes Ergebnis ein. Wenn man dagegen den Preis auf 10000€ festsetzt, hat man die Chance 1 Mrd. Euro Gewinn zu machen oder einen Nullgewinn zu erzielen. Es ist also für beide Firmen rational einen Preis von 10.000€ zu wählen, womit sich ein Gleichgewicht einstellt, in dem beide Unternehmen Nullgewinne erzielen.

Ein anderes Nullsummenspiel ist das klassische Elfmeterschießen, wie wir es oft beim Fußball sehen. Dies soll nun auf folgende, vereinfachte Weise modelliert werden: Es gibt zwei Spieler einmal den Stürmer und einmal den Torwart. Der Stürmer kann entweder nach links oder nach rechts schießen, der Torwart kann in eine der beiden Richtungen springen. Wir unterstellen nun, dass der Torwart, wenn er zur selben Seite springt, in die der Stürmer geschossen hat, den Ball fängt. Dies soll mit einem Punkt für den Torwart gewertet werden. Springt er auf die falsche Seite, schießt der Stürmer ein Tor, was als Punkt für ihn gewertet werden kann. Beide Spieler wählen simultan ihre Strategie. Es ergibt sich also folgende Payoff-Matrix:

Hier ist es nicht so einfach eine rationale Strategie herauszufinden, denn der minimale Payoff ist für beide Strategien –1 und der maximale +1. Es leuchtet ein, dass hier eine vernünftige Spielweise nie darin bestehen kann immer dieselbe Strategie zu verwenden, denn so kann sich der Gegner darauf einstellen. Also sollte man alle zur Verfügung stehenden Strategien nutzen und die Auswahl dem Zufall überlassen. Eine solche Strategie nennt man gemischte Strategie.

Dies fand auch John von Neumann heraus. Er analysierte als einer der ersten Mathematiker Nullsummenspiele und konnte zeigen, dass jedes Zwei-Personen-Nullsummenspiel eine Maximallösung in gemischten wenn nicht in einer reinen Strategie hat.