2.2 Herleitung der allgemeinen Formel

 

Wir übertragen den Fall auf eine beliebige stetige Funktion f mit f(x) > 0, deren Graph im Intervall um die 1. Achse rotiert. Es entsteht ein Rotationskörper, dessen Volumen V bestimmt werden soll.

Zunächst nähern wir uns V mit den Volumina einbeschriebener bzw. umbeschriebener Zylinder. Zylinder eignen sich für diese Annäherung, da der Zylinder ein Rotationskörper ist, dessen Volumen wir mit der bekannten Formel VZylinder  =  berechnen können.

Dazu teilen wir das Intervall in n äquidistante Teilintervalle und nähern uns dem Graphen in jedem Intervall mit ein- und umbeschriebenen Geraden, die jeweils durch eine konstante Funktion der Form g(x) = c beschrieben werden. Die Länge der Intervalle ist dann jeweils =

 

Lassen wir die Geraden um die 1. Achse rotieren, dann entsteht ein einbeschriebener und ein umbeschriebener Treppenkörper aus Zylindern.

Es sei  das Volumen des einbeschriebenen Treppenkörpers und  das Volumen des umbeschriebenen Treppenkörpers. Dann gilt für das gesuchte Volumen V:                                               

 

 

Aus der Grafik sehen wir, dass die Höhe der Zylinder h =  ist. Die Radien der einbeschriebenen Zylinder ergeben sich aus:f (x0), f (x1),..., f (x n-1), und die Radien der umbeschriebenen Zylinder aus: f (x1), f (x2),..., f (x n).

Entsprechend der Formel VZylinder =  gelten:

 

=    

ausklammern

von

=       

=

 

=     

wir schreiben die Indizes um

 

=

 

Fassen wir die große eckige Klammer als Summe zusammen, dann gilt:

 

=.       

beide Terme unterscheiden

sich nur vom Index von x

=   

Je größer n wird, desto kleiner werden die Intervalle und die Annäherungen  und  nähern sich immer mehr dem gesuchten Volumen V. Wir bilden deshalb die Grenzwerte   und   .

 

Da die Intervalle immer kleiner werden, unterscheiden sich die Stellen x i, x i+1   immer weniger voneinander und wir können für schreiben: x i = x i+1

Dadurch gilt auch  :   =    =

Wegen , folgt: V =

 

Da f(x) im Intervall stetig ist, ist auch die Funktion z(x) = stetig und integrierbar. Nach der analytischen Definition des Integrals gilt 1):

 

V = =

 

 

 

1)nach Griesel, Postel, "Einführung in die Analysis 2", S.53