5 Schlussbetrachtung

In der vorliegenden Arbeit haben wir zunächst den Begriff des Rotationskörpers definiert und haben dann mit einigen Überlegungen die folgende Integralformel für die Volumenberechnung an einem Rotationskörper hergeleitet:  

Im Folgenden haben wir das Hühnerei als Rotationskörper betrachtet und für dessen Randfunktion mehrere Modelle entwickelt. Wir sind darauf gekommen, dass der Graph der gesuchten Funktion aufgrund der besonderen Form des Eis in mehrere Abschnitte geteilt werden kann, so dass wir abschnittweise definierte Funktionen erarbeiten mussten.

Mit den festgesetzten Größen l, r und a leiteten wir mit Hilfe von allgemeinen Formeln verschiedene Gleichungen für die Randfunktion her. Bei der allgemeinen Berechung des Volumens der Halbkugel und des halben Ellipsoids ergaben sich nach einigen Umformungen einfache und handliche Formeln. Das Integrieren der Funktionen für die 2 Kreisbögen und das der Logarithmusfunktion war schon wesentlich aufwendiger, beim letzteren haben wir uns mit dem TI-83 beholfen.

Nachdem wir versucht hatten, allgemeine Formeln für das Volumen zu finden, haben wir uns ein konkretes Ei angesehen, dessen Größen ausgemessen und unsere Formeln angewendet. Zusätzlich haben wir mit dem TI-83 zwei Regressionsgleichungen und die zugehörigen Volumina bestimmt. Die verschiedenen Werte für das Volumen lagen recht nah beieinander (68cm³ bis 75cm³) und wurden zusätzlich durch ein Messergebnis gestützt.

Für das Volumen eines allgemeinen Eis können wir sagen:

Wollen wir genauere Angaben für  machen, so müssen wir die Form des jeweiligen Eis abwägen und uns dann für eines der Modelle entscheiden, die sich auch von der Anwendung her unterscheiden.

Sicherlich lassen sich noch andere Modelle für das Ei finden, aber die hier erarbeiteten Modelle sind für drei zu messende Größen ( l, r, a) relativ genau.

Die hier angewandten Methoden können wir auch auf andere Rotationskörper ( z.B. Vasen, Flaschen) übertragen. Wir können z.B. deren Randfunktion in mehrere Abschnitte teilen, so dass wir die Randkurve schon mit Graphen von einfachen Funktionen annähern können. Bei der Suche nach den Funktionen ist es hilfreich, dass wir die Kurve beliebig in Richtung der 1.Achse verschieben können: Solange wir das Intervall dementsprechend verändern, wirkt sich diese Verschiebung nicht auf das Volumen aus.

Anhand dieser Arbeit haben wir nun dargelegt, dass die Integralrechnung nicht nur ein mathematisches Thema darstellt, sondern durchaus realitätsbezogen ist, da wir sie zur Bewältigung von alltäglichen Problemen anwenden können.