Regula falsi oder Posicion
Aufgaben
AUFGABE:
„Es ist gegeben:
Einer spricht: Gott grüße
euch 30 Gesellen.
Antwortet einer: Wenn wir
noch einmal so viele und [noch einmal] halb so viele wären, so wären wir
dreißig Personen.
Die Frage [lautet]: Wie
viele ]Personen] sind es [wirklich] gewesen?
Gehe folgendermaßen vor:
Nimm Dir eine Zahl, die
durch 2 geteilt werden kann, zum Beispiel 16.
Überprüfe diese Zahl. Sprich: 16 plus 16 plus die Hälfte von 16, was 8 ist,
ergibt in einer Summe 40. Es sollten aber 30 Personen sein. Es sind also 10 [Personen] zu viel“. Dieser Wert entspricht
dem ersten Fehlbetrag.
„Nimm deshalb an, es sind 14 Personen gewesen. Sprich: 14 plus 14 plus 7
macht zusammen 35. Es sind 5 Personen zu
viel“, was dem zweiten Fehlbetrag entspricht.
Es steht also: 16 +
plus 10
5
14 +
plus 5
„Ziehe“ beide Fehlbeträge
voneinander ab, also „5 von 10“. „Es bleiben 5
als Teiler übrig. Multipliziere danach im
Kreuz“ 16 mit 5
und 14 mit 10.
„Ziehe das eine vom
anderen ab [ also: 16 · 5 – 14 · 10 ] und teile
[die Differenz mit dem Teiler] ab. Auf diese
Weise ergeben sich 12. So viele Gesellen sind es gewesen“. (Übersetzung nach
Deschauer 1991: 144-145)
AUFGABE:
„Es ist gegeben: Jemand
hat Geld, legt es an, [und] gewinnt 4 Gulden. Er legt es erneut an und
gewinnt die Hälfte des verzinsten Kapitals und dazu 5 Gulden mehr. Er legt es
zum dritten [Mal] an und gewinnt den vierten Teil der ganzen Summe.“ [...] Er
hat nun „70 Gulden. Die Frage lautet: Wie viel Geld hatte er am Anfang?
Gehe folgendermaßen vor:
Nimm an, er hat 6 Gulden gehabt. Addiere 4 Gulden [dazu]. Es ergeben
sich 10 [Gulden]. Addiere die Hälfte von 10 Gulden dazu und [zusätzlich] 5
Gulden. Es werden 20 Gulden. Davon ist ein Viertel 5 Gulden. Die gib zu den
20 [Gulden] dazu; es ergeben sich 25 Gulden. Es sollten [aber] 70 Gulden
sein. Es sind also 45 Gulden zu wenig.“
Daher muss vor 45 ein
Minuszeichen gesetzt werden, also - 45.
Dieses Minuszeichen kann auch ausgeschrieben werden.
„Nimm deshalb an, es sind 12
Gulden gewesen, und überprüfe diesen Wert auch.
Es
steht also: 6 minus 45
12 minus 33 ¾
Wandle die Lügen in
Brüche“ mit dem gleichen Nenner um.
6 minus 180/4
12 minus 135/4
Kürze mit ¼. Ziehe 135 von
180 ab. Es ergeben sich 45 als Teiler.
„Es steht wie hier: 6 - 180
45
12 - 135
Berechne [das Ergebnis
nach der bereits bekannten Methode]. Es ergeben sich 30 Gulden. So viel hat
er [am Anfang] gehabt.“
(Übersetzung nach Deschauer 1991: 151-152)
AUFGABE:
Es ist gegeben:
„Ihrer zwei, A und B,
wollen ein Pferd für 15 Gulden kaufen. Spricht A zu B: Gib mir ein Drittel
Deines Geldes. So will ich mein Geld dazugeben und [wir können] das Pferd
bezahlen. Spricht B zum A: Gib mir von Deinem Geld ein Viertel, so will ich
[zusammen] mit meinem Geld das Pferd bezahlen.'' Nun frage ich: Wie viel Geld
hat jeder einzelne?
Nimm an, A hat 12 Gulden.“ Für die restliche Bezahlung fehlen“ –
wenn man nach dem Ansatz von A vorgeht – „3 Gulden, welche den dritten Teil
vom B machen. Also muss B 9 [Gulden]
haben. Überprüfe dann diese [Werte nach den Ansätzen von A und B]. Sprich:
der dritte Teil [ des Geldes von B – 9
Gulden – ] ist 3. Zu den 12 des A addiert
ergeben sich 15. Damit kann das Pferd bezahlt werden.
Nun will B vom A den
vierten Teil haben, also 3 Gulden. Addiere 3 zu 9,
es ergeben sich 12. Es sind 3 Gulden zu
wenig. Nimm deshalb an, A habe 8 Gulden.
[Folglich] muss B“ – nach dem Ansatz von A – „21
Gulden haben“, da noch 7 Gulden – ein Drittel des Geldes von B zur Bezahlung
des Pferdes fehlen . „Überprüfe erneut“ nach dem Ansatz von B. „Es sind 8
Gulden zuviel, und es steht also“:
A B
12 9 minus 3
11
8 21 plus 8
Addiere, um den Teiler zu erhalten, 3
und 8 ohne Berücksichtigung der Vorzeichen zusammen
– die Begründung dafür ist in der Theorie erläutert. Für den Teiler ergibt sich 11.
„Berechne zuerst das Geld
des A.“
Multipliziere kreuzweise 12 mit 8 und 8 mit 3.
Addiere beide Produkte zusammen und teile mit dem Teiler
ab.
„Es ergeben sich 10 Gulden
und 10/11 Teile [für A]. Berechne danach das Geld des B.“ Multipliziere
kreuzweise 9 mit 8
und 21 mit 3.
Addiere beide Produkte zusammen und teile mit dem Teiler
ab.
„Es ergeben sich 12 3/11
Gulden.“
(Übersetzung
nach Deschauer 1991: 152-153)
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