Inhalt
» Vorbemerkungen
» Die Formel
» Die Ableitung
» Die Zusammenhänge
» Anmerkungen
Der Differenzialquotient ist eines der Herzstücke der Analysis. Er hat Anwendungen in der Analyse von Funktionen und der Modellierung unterschiedlichster Ereignisse in der Wirklichkeit.
Als einleitendes Beispiel wollen wir beim vertikalen Wurf (gegeben durch \(h(t)=30t-5t^2\) nicht nur die mittlere sondern auch die Momentangeschwindigkeit beim Abwurf messen. Wir beginnen mit der Messung der durchschnittlichen Geschwindigkeit im Intervall \([0;1]\) und verkleinern dieses. Blicken wir auf den Graphen und verschieben die rechte Seite des Intervalls:
Um das ganze genauer zu betrachten zoomen wir in den Bereich um den Ursprung
Es wirkt, als würde sich die durchschnittliche Geschwindigkeit der Momentangeschwindigkeit \(30\frac{m}{s}\) nähern.
Vorbemerkungen
Wir führen den Differenzialquotienten als Grenzwert des Differenzenquotienten ein. Kurz gesagt werden heutzutage viele Bereiche dieser Herleitung ausgelassen. Geht es euch nur um das Ableiten (und die Kurvendiskussion) wollt ihr voraussichtlich gleich in das nächste Kapitel aber wir empfehlen trotzdem dieses Kapitel zu studieren.
Die Formel
Der Differentialquotient an der Stelle \(x_0\) hat ähnlich dem Differenzenquotient mehrere verschiedene Darstellungsweisen:
\begin{align*}
\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x},
\quad \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h},
\quad \lim_{x_1\to x_0}\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}
\end{align*}
rechnerisch passiert jedoch immer das gleiche. Der zweite Wert \(x_0+\Delta x\), \(x_0+h\) oder \(x_1\) nähert sich dem ersten Wert \(x_0\) beliebig nahe, im Limes, an. Dadurch entsteht umgangssprachlich gesagt die Problematik, dass wir im Limes im Nenner 0 erhalten. Geht die Rechnung als ganzes dann doch gut aus, konvergiert der Term also gegen einen Grenzwert, nennen wir die Funktion in \(x_0\) differenzierbar.
Angewandt auf unser Beispiel erhalten wir für den Differenzialquotienten im Ursprung
\begin{align*}
\lim_{\Delta t\to 0} \frac{h(0+\Delta t)-h(0)}{\Delta t} & =\lim_{\Delta t\to 0}\frac{30(0+\Delta t)-5(0+\Delta t)^2-0}{\Delta t} \\
\\
& =\lim_{\Delta t\to 0} \frac{30\Delta t - 5 (\Delta t)^2}{\Delta t}\\
\\
& =\lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta t(30-5\Delta t)}{\Delta t}\\
\\
& = \lim_{\Delta t\to 0} 30-5\Delta t=30
\end{align*}
dabei haben wir verwendet, dass \(h(0)=0\) gilt. Sobald wir \(\Delta t\) gekürzt haben, können wir den Limes gegen 0 laufen lassen, weshalb \(-5\Delta t\) verschwindet. Unsere nummerische Vermutung, dass die Startgeschwindigkeit gleich \(30\frac{m}{s}\) ist, stimmt also.
Die Ableitung
Die Ableitung \(f'\) einer differenzierbaren Funktion \(f\) ordnet jedem \(x\)-Wert des Definitionsbereichs \(D_f\) den entsprechenden Differentialquotienten zu. Wir schreiben dann \(f'\) oder \(\frac{df}{dx}\). Es gilt
\begin{align*}
f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.
\end{align*}
Wir kürzen im folgenden \((\Delta t)^2\) mit \(\Delta t^2\) ab. In unserem Beispiel mit \(h(t)=30t-5t^2\) berechnen wir
\begin{align*}
\lim_{\Delta t\to 0} \frac{h(t+\Delta t)-h(t)}{\Delta t}
& =\lim_{\Delta t\to 0} \frac{(30(t+\Delta t)-5(t+\Delta t)^2)-(30t-5t^2)}{\Delta t} \\
& =\lim_{\Delta t\to 0} \frac{30t+30\Delta t-5(t^2+2t\Delta t+ \Delta t^2)-(30t-5t^2)}{\Delta t}\\
& =\lim_{\Delta t\to 0} \frac{30\Delta t-10t\Delta t +\Delta t^2}{\Delta t}\\
& =\lim_{\Delta t\to 0} 30-10t-5\Delta t=30-10t=h'(t).
\end{align*}
Sobald wir \(\Delta t\) gekürzt haben spricht, ganz frei gesagt, nichts mehr dagegen den Limes gegen 0 laufen zu lassen weshalb \(-5\Delta t\) verschwindet. Unser Ergebnis deckt sich mit unserer vorigen Berechnung, erhalten wir doch \(h'(0)=30\).
Angelehnt an \(\frac{\Delta f}{\Delta x}\) für \(\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}\) schreibt man oftmals statt \(f'\) auch \(\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}\). Diese Schreibweise ist vor allem bei höherdimensionalen Funktionen hilfreich. Mehr dazu findet ihr unter den Anmerkungen.
Die Zusammenhänge
Wir versuchen ganz frei die Zusammenhänge noch einmal darzustellen.
| Formel | Bedeutung | Physikalisch | Geometrisch | |
| \(\begin{aligned}\frac{\Delta f}{\Delta x}\end{aligned}\) | \(\begin{aligned}\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}\end{aligned}\) | mittlere Änderung von \(f\) | \(\bar{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}\) | Sekantensteigung |
| \(\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}=f'\) | \(\begin{aligned} \lim_{x_1\to x_0}\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} \end{aligned}\) |
momentane Änderung von \(f\) | \(v=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}=s'\) | Tangentensteigung |
Ist eine Funktion \(f\) also an einer Stelle \(x_0\) differenzierbar, so konvergiert die Folge der Differentenquotienten / Sekantensteigungen gegen den/die Differentialquotient / Tangentensteigung an der Stelle \(x_0\).
Anmerkungen
Der Differentialquotient in der Physik: Wir sehen also, dass bei einer Streckenfunktion \(s\) beziehungsweise einer Höhenfunktion \(h\) die erste Ableitung die Momentangeschwindigkeit darstellt. Man schreibt die Funktion \(h\) daher auch oft als \(h(t)=v_0\cdot t-5t^2\) denn \(h'(t)=v_0-10t\) und wir erhalten \(h'(0)=v_0-10\cdot 0=v_0\). Die Änderung der Momentangeschwindigkeit ist die Beschleunigung. Sie ist die Ableitung der Ableitung. Für uns bedeutet das \(h''(t)=-10\), dies sind gerundet \(g=-9,81\frac{m}{s^2}\), die Erdgravitationskonstante.