[Deutsche Version siehe unten]
Maryna S. Viazovska, Dirichlet-Postdoc at Berlin Mathematical School, seems to have solved the hypersphere packing problem for dimension eight. In this dimension, a packing of balls can not cover more than 25.367 percent of the space, that is a density of pi^4/384. The question of how dense d-dimensional balls can be packed in d-dimensional space can be posed for every dimension - and it is a classical problem. Up to now one knew only the solution in dimensions 1, 2 and 3. Now, Maryna Viazovska has solved the problem for dimension 8 completely and exact.
The hypersphere packing problem for dimension three is known as the Kepler problem and has been solved in the 1990s by Tom Hales and Samuel Ferguson (since 2014 with an additional formal computer proof). It says that the 3-dimensonal space can be filled up to 74.5 percent with equal balls. In two dimensions one can cover about 90 percent of the plane with equal circles; this has been shown in the 1940s by László Fejes Tóth. In all dimensions larger than three and not equal eight the most dense hypersphere packing is unknown.
For 8-dimensional space, it is known since several years that one can not fill more than 25.367 percent of the space with equal balls if the centers of the balls are lying on a regular lattice. This lattice can be described on basis of the algebraic group E8, which plays also an important role in string theory and other fields of mathematics.
Since 2003 there is also a result of Henry Cohn and Noam Elkies saying that any hypersphere packing in dimension eight (no matter if the balls are lying on a lattice or not) can be at most 1/1000000 denser than the lattice packing based on E8. Now, Maryna S. Viazovska pushed this bound to zero, with methods from number theory (modular forms).
Maryna S. Viazovska works at the Humboldt University Berlin. Before, she did reasearch at the University of Cologne and wrote her doctoral thesis at the Max-Planck Institute for mathematics in Bonn advised by Don Zagier.
This illustration shows the best known densities for hypersphere packings. Plotted is the logarithm of the center density against the dimension. The center density describes how many ball centers are packed into a hypercube of edge length 1 in the mean by the packing (data from Conway and Sloane 1999). Red is the actual best upper bound due to Cohn and Elkies. In dimensions 1, 2, 3 and 8 the optimal densities are known, in dimension 24 the best density is almost the Cohn-Elkies-bound.
[German version - Deutsche Version]
Maryna S. Viazovska, Dirichlet-Postdoktorandin an der Berlin Mathematical School, hat offenbar das Kugelpackungsproblem für Dimension acht gelöst. In dieser Dimension lässt sich der Raum nicht besser als zu einem Anteil von pi^4/384, also zu etwa 25,367 Prozent mit Kugeln füllen.
Die Frage, wie dicht man gleich große d-dimensionale Kugeln in einen d-dimensionalen Raum packen kann, kann man in jeder Dimension stellen und sie gilt als ein klassisches Problem. Bisher kannte man die Lösung des Problems nur für die Dimensionen 1, 2 und 3. Jetzt hat Maryna Viazovska das Problem für Dimension 8 gelöst, vollständig und exakt.
Das Kugelpackungsproblem für Dimension drei ist das Kepler-Problem, das in Laufe der 1990er Jahre von Tom Hales und Samuel Ferguson bewiesen wurde (seit 2014 zusätzlich mit einem formalen Computerbeweis). Die Aussage: Der dreidimensionale Raum lässt sich zu höchstens rund 74,5 Prozent mit gleichartigen Kugeln füllen, enger lassen sich Kugeln in drei Dimensionen nicht packen. In zwei Dimensionen kann man mit Kreisscheiben rund 90 Prozent der Ebene bedecken, was in den 1940er Jahren von László Fejes Tóth gezeigt wurde.
In allen Dimensionen größer als drei (und ungleich acht) kennt man die dichteste Kugelpackung noch nicht.
Seit Längerem ist bekannt, dass sich nicht mehr als 25,367 Prozent des achtdimensionalen Raumes mit Kugeln füllen lassen, falls man voraussetzt, dass die Kugelmittelpunkte auf einem regelmäßigen Gitter liegen sollen. Dieses Gitter wird dabei mit Hilfe der algebraischen Gruppe E8 beschrieben, die auch in der Stringtheorie und anderen Gebieten der Mathematik eine wichtige Rolle spielt.
Seit 2003 ist außerdem durch ein Ergebnis von Henry Cohn und Noam Elkies bekannt, dass eine beliebige Kugelpackung in Dimension acht - also eine, in der die Kugeln /nicht/ auf einem Gitter liegen müssen - nur höchstens ein Millionstel dichter als die Gitterpackung mit dem Gitter E8 sein kann. Maryna S. Viazovska hat diese Schranke nun auf Null gedrückt, und zwar mit Methoden der Zahlentheorie (Modulformen).
Maryna S. Viazovska arbeitet an der Humboldt-Universität Berlin. Davor hat sie an der Universität Köln geforscht und bei Don Zagier am Max Planck Institut für Mathematik in Bonn promoviert.
Die Grafik zeigt die besten bekannten Dichten für Kugelpackungen. Aufgetragen ist der Logarithmus der Zentrumsdichten gegen die Dimension. Die Zentrumsdichte beschreibt, wie viele Kugel-Mittelpunkte eine Kugelpackung im Durchschnitt in einen Hyperwürfel mit Kantenlänge 1 packt (Daten aus Conway und Sloane 1999). Rot ist die aktuell beste obere Schranke von Cohn und Elkies eingetragen. In Dimensionen 1, 2, 3 und 8 kennt man die optimalen Packungsdichten, in Dimenson 24 kommt die beste Dichte der Cohn-Elkies- Schranke sehr nahe.
Nachtrag: Auch das Packungsproblem in Dimension 24 scheint nun gelöst worden zu sein, von einem Team von Mathematikerinnen und Mathematikern: Henry Cohn, Abhinav Kumar, Stephen D. Miller, Danylo Radchenko und Maryna Viazovska
Andreas Loos