Juri Manin war zweifellos einer der wichtigsten deutschen Mathematiker der letzten Jahrzehnte (und einer der bedeutendsten sowjetischen Mathematiker der 60er bis 80er Jahre). Sein Werk ist so weit gespannt, dass es schwer ist, hier kurz etwas dazu zu schreiben.
Bekannt wurde er in den 60er Jahren durch den Beweis der Mordell-Vermutung für Funktionenkörper. (Die Mordell-Vermutung für Zahlkörper bewies später Gerd Faltings. Aus ihr folgt, dass Kurven wie zum Beispiel für n>2 die Fermat-Kurve xⁿ+yⁿ=1 nur endlich viele rationale Punkte haben.)
In den 60er Jahren dominierte Alexander Grothendieck die Algebraische Geometrie, seine Anhänger in Frankreich und anderswo bewegten die Mathematik in eine sehr abstrakte Richtung, während sowjetische Mathematiker Grothendiecks Ideen aufgriffen und sie mit anderen Dingen kombinierten. Insbesondere Grothendiecks allgemeinste und abstrakteste Idee, eine hypothetische Theorie der “Motive”, wurde von Manin erstmals konkreten Berechnungen zugänglich gemacht. Seine auf russisch veröffentlichte Arbeit “Correspondences, Motifs and monoidal transformation” war die erste Veröffentlichung über Motive.
Seine aus den folgenden Jahrzehnten stammenden zahlreichen bekannten Sätze und Vermutungen aus Zahlentheorie und Algebraischer Geometrie aufzuzählen, würde den Rahmen dieses Artikels sprengen. Später in Deutschland und auch schon zuvor seit Ende der 70er Jahre widmete er sich verstärkt der Mathematischen Physik. Seine Arbeit mit Drinfeld, in der er die Lösungen der Yang-Mills-Gleichung auf der 4-Sphäre klassifizierte, war ein Vorläufer für Donaldsons berühmte Klassifikation der Yang-Mills-Instantonen auf beliebigen 4-Mannigfaltigkeiten. Auch in seinen Arbeiten zur Physik ging es aber meist um Verbindungen zur algebraischen Geometrie. So entwickelte er mit Kontsevich eine axiomatische Theorie für Gromov-Witten-Invarianten und Quantenkohomologie, wo man mathematische Ideen aus der Quantenfeldtheorie auf Probleme der abzählenden Geometrie anwendet.