Inhalt
» Die explizite Folge
» Die rekursive Folge
» Beispiele
Wir nennen eine fortlaufende Anordnung reeller Zahlen der Form
\begin{align*}
(a_0,a_1,a_2,a_3,\dots )
\end{align*}
eine reelle Zahlenfolge. Die einzelnen Elemente werden Glieder genannt.
Die explizite Folge
In einer expliziten Darstellung können wir das \(n\)-te Folgenglied durch einen Term \(T\) (oder eine Funktion \(f\)) in \(n\) darstellen. Es gilt also
\begin{align*}
a_n=T(n), \qquad n\in\mathbb{N}.
\end{align*}
Diese Darstellung hat sehr große Ähnlichkeit mit den Funktionen.
Die rekursive Folge
In einer rekursiven Darstellung können wir das \(n\)-te Folgenglied durch einen Term \(T\) (oder eine Funktion \(f\)) in \(a_{n-1}\) darstellen. Es gilt also
\begin{align*}
a_n=T(a_{n-1}), \qquad n\in\mathbb{N}.
\end{align*}
Diese Darstellung ist oft sehr "sprechend", wie ihr in den Beispielen sehen werdet. In den meisten Fällen ist ein sogenannter Startwert \(a_0\) gegeben.
In komplexeren Beispielen wird die Darstellung verallgemeinert und das \(n\)-te Glied \(a_n\) darf (theoretisch) abhängig sein von allen vorigen Gliedern.
Beispiele
Oftmals hilft es - so auch in den kommenden Beispielen - sich die einzelnen Glieder als Zeitpunkte vorzustellen.
Haarwachstum
Das Wachstum des Haares verläuft annähernd konstant 1 cm pro Woche. Jemand rasiert sich die Haare auf 9 Millimeter ab. Beschreiben Sie das Wachstum des Haares mit einer geeigneten Folge.
Lösung
\begin{align*}
& a_0=0,9 \\
& a_n=a_{n-1}+\frac{1}{7}\text{ oder } \\
& a_n=\frac{1}{7}\cdot n +0,9.
\end{align*}
Wir können also sowohl eine rekursive als auch eine explizite Darstellung finden. Wir sprechen noch einmal die drei Zeilen: Zu Beginn (Zeitpunkt 0) haben wir einen Haarschnitt \(a_0\) von 9 Millimeter. Heute \(a_n\) haben wir die Haarlänge von gestern \(a_{n-1}\) und weitere \(\frac{1}{7}\) cm Haarlänge. Alternativ erhalten wir die Formel, dass \(n\) Tage nach dem Haarschnitt die Haarlänge durch \(a_n=\frac{1}{7}\cdot n+0,9\) gegeben ist.
Hinweis: Dieses Beispiel könnte auch mit Hilfe einer linearen Funktion gelöst werden.
Kryptonit
Der radioaktive Zerfall des fiktiven Materials Kryptonit kann über die Halbwertszeit beschrieben werden. Nach 8 Jahren ist die Hälfte des radioaktiven Materials zerfallen. Wann sind weniger als 10\(\%\) des ursprünglichen Materials vorhanden?
Lösung
\begin{align*}
&a_n=\frac{1}{2}a_{n-1} \text{ und daher } \\
&a_1=\frac{1}{2}a_{0} \\
&a_2=\frac{1}{2}a_1=\frac{1}{2}\frac{1}{2}a_0=\frac{1}{4}a_0 \\
&a_3=\frac{1}{2}a_2=\dots =\frac{1}{8}a_0 \\
&a_4=\frac{1}{2}a_3=\dots =\frac{1}{16}a_0<\frac{1}{10}a_0.
\end{align*}
Nach vier Halbwertszeiten, also \(4\cdot 8=32\) Jahren sind nur noch \(\frac{1}{16}=0,0625=6,25\% \) des Ursprungsmaterials vorhanden. Dies sind weniger als 10 Prozent.
Wir hoffen diese Lösung stellt uns alle im selben Maße nicht zufrieden. Die Lösung war umständlich und aufgrund der 8-Jahresschritte sehr ungenau. Wir lösen das Beispiel bei den geometrischen Folgen genauer.
Hinweis: Dieses Beispiel könnte auch mit Hilfe einer Exponentialfunktion gelöst werden.
Holzwachstum
Ein Landwirt besitzt im Jahr 2008 60000 ha Wald. Pro Jahr wächst der Wald um 5 Prozent und jedes Jahr holzt der Bauer 3500 ha ab. Geben Sie eine Folge an welche die vorhandenen Hektar (ha) Wald in Jahren nach 2008 angibt.
Lösung
\begin{align*}
& a_0=60000 \\
& a_n=1,05\cdot a_{n-1}-3500.
\end{align*}
Wir "übersetzen" diese Darstellung noch einmal: Heute \(a_n\) haben wir 5 Prozent mehr (\(\cdot 1,05\)) als letztes Jahr \(a_{n-1}\) und holzen 3500 ha ab.
Hinweis: Zu Fragen nach dem Langzeitverhalten des Waldes und anderem benötigen zur Lösung weitere mathematische Begriffe.