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» Die explizite Folge
» Die rekursive Folge
» Beispiele

Wir nennen eine fortlaufende Anordnung reeller Zahlen der Form
\begin{align*}
(a_0,a_1,a_2,a_3,\dots )
\end{align*}
eine reelle Zahlenfolge. Die einzelnen Elemente werden Glieder genannt.

Die explizite Folge

In einer expliziten Darstellung können wir das \(n\)-te Folgenglied durch einen Term \(T\) (oder eine Funktion \(f\)) in \(n\) darstellen. Es gilt also
\begin{align*}
a_n=T(n), \qquad n\in\mathbb{N}.
\end{align*}
Diese Darstellung hat sehr große Ähnlichkeit mit den Funktionen.

Die rekursive Folge

In einer rekursiven Darstellung können wir das \(n\)-te Folgenglied durch einen Term \(T\) (oder eine Funktion \(f\)) in \(a_{n-1}\) darstellen. Es gilt also
\begin{align*}
a_n=T(a_{n-1}), \qquad n\in\mathbb{N}.
\end{align*}
Diese Darstellung ist oft sehr "sprechend", wie ihr in den Beispielen sehen werdet. In den meisten Fällen ist ein sogenannter Startwert \(a_0\) gegeben.

In komplexeren Beispielen wird die Darstellung verallgemeinert und das \(n\)-te Glied \(a_n\) darf (theoretisch) abhängig sein von allen vorigen Gliedern.

Beispiele

Oftmals hilft es - so auch in den kommenden Beispielen - sich die einzelnen Glieder als Zeitpunkte vorzustellen.

Haarwachstum

Das Wachstum des Haares verläuft annähernd konstant 1 cm pro Woche. Jemand rasiert sich die Haare auf 9 Millimeter ab. Beschreiben Sie das Wachstum des Haares mit einer geeigneten Folge.

Lösung

Offensichtlich ist der Startwert unserer Folge die 9 Millimeter (oder 0,9 cm) zum Tag 0 des Haarschnitts. Nun müssen wir uns auf Zeitschritte einigen. Naheliegend sind Tage oder Wochen und je nachdem wächst unser Haar um \(\frac{1}{7}\)cm oder 1cm pro Zeitschritt. Wir wählen aufgrund einer höheren Genauigkeit die Tage statt den Wochen und erhalten die Folge
\begin{align*}
& a_0=0,9 \\
& a_n=a_{n-1}+\frac{1}{7}\text{ oder } \\
& a_n=\frac{1}{7}\cdot n +0,9.
\end{align*}
 

Wir können also sowohl eine rekursive als auch eine explizite Darstellung finden. Wir sprechen noch einmal die drei Zeilen: Zu Beginn (Zeitpunkt 0) haben wir einen Haarschnitt \(a_0\) von 9 Millimeter. Heute \(a_n\) haben wir die Haarlänge von gestern \(a_{n-1}\) und weitere \(\frac{1}{7}\) cm Haarlänge. Alternativ erhalten wir die Formel, dass \(n\) Tage nach dem Haarschnitt die Haarlänge durch \(a_n=\frac{1}{7}\cdot n+0,9\) gegeben ist.

Hinweis: Dieses Beispiel könnte auch mit Hilfe einer linearen Funktion gelöst werden.

Kryptonit

Der radioaktive Zerfall des fiktiven Materials Kryptonit kann über die Halbwertszeit beschrieben werden. Nach 8 Jahren ist die Hälfte des radioaktiven Materials zerfallen. Wann sind weniger als 10\(\%\) des ursprünglichen Materials vorhanden?

Lösung

Wir müssen uns wieder auf Zeitschritte einigen. Naheliegend sind 8 Jahre. Es ist keine Startmenge gegeben, dies ist öfter der Fall und wir rechnen einfach mit dem allgemeinen Startwert \(a_0\). Wir erhalten dann
\begin{align*}
&a_n=\frac{1}{2}a_{n-1} \text{ und daher } \\
&a_1=\frac{1}{2}a_{0} \\
&a_2=\frac{1}{2}a_1=\frac{1}{2}\frac{1}{2}a_0=\frac{1}{4}a_0 \\
&a_3=\frac{1}{2}a_2=\dots =\frac{1}{8}a_0 \\
&a_4=\frac{1}{2}a_3=\dots =\frac{1}{16}a_0<\frac{1}{10}a_0.
\end{align*}
 
 
 

Nach vier Halbwertszeiten, also \(4\cdot 8=32\) Jahren sind nur noch \(\frac{1}{16}=0,0625=6,25\% \) des Ursprungsmaterials vorhanden. Dies sind weniger als 10 Prozent.

Wir hoffen diese Lösung stellt uns alle im selben Maße nicht zufrieden. Die Lösung war umständlich und aufgrund der 8-Jahresschritte sehr ungenau. Wir lösen das Beispiel bei den geometrischen Folgen genauer.

Hinweis: Dieses Beispiel könnte auch mit Hilfe einer Exponentialfunktion gelöst werden.

Holzwachstum

Ein Landwirt besitzt im Jahr 2008 60000 ha Wald. Pro Jahr wächst der Wald um 5 Prozent und jedes Jahr holzt der Bauer 3500 ha ab. Geben Sie eine Folge an welche die vorhandenen Hektar (ha) Wald in Jahren nach 2008 angibt.

Lösung

Naheliegenderweise ist unser Startwert \(a_0=60000\). Pro Jahr haben wir konstante Abnahme von 3500 (\(entspricht -3500\)) und ein Wachstum von 5 Prozent (\(entspricht \cdot 1,05\)) abhängig vom vorherigen Jahr. Wir erhalten daher die Gleichung
\begin{align*}
& a_0=60000 \\
& a_n=1,05\cdot a_{n-1}-3500.
\end{align*}
Wir "übersetzen" diese Darstellung noch einmal: Heute \(a_n\) haben wir 5 Prozent mehr (\(\cdot 1,05\)) als letztes Jahr \(a_{n-1}\) und holzen 3500 ha ab.

Hinweis: Zu Fragen nach dem Langzeitverhalten des Waldes und anderem benötigen zur Lösung weitere mathematische Begriffe.