Inhalt
» Die arithmetische Folge
» Die geometrische Folge
» Anmerkungen
» Beispiele

Die zwei wichtigsten Folgen sind die arithmetische und die geometrische Folge. Sie treten in der Natur (radioaktiver Zerfall, bakterielles Wachstum), den Finanzwissenschaften (Zinsen und Zinseszinsen) und vielen weiteren Bereichen auf. Wir werden zudem sehen, dass ein Wechsel zwischen expliziter und rekursiver Darstellung sehr einfach ist.

Die arithmetische Folge

Eine arithmetische Folge ist eine Folge reeller Zahlen mit der Eigenschaft, dass die Differenz zweier aufeinander folgender Glieder \(a_n\) und \(a_{n-1}\), \(n\in\mathbb{N}\) konstant \(d\) (wie Differenz) ist. Als Formel bedeutet das \(a_n-a_{n-1}=d\). Mit einem Startwert \(a_0\) folgt daraus die rekursive Darstellung
\begin{align*}
a_n=a_{n-1}+d.
\end{align*}
Daraus schließen wir intuitiv und auch induktiv die explizite Darstellung
\begin{align*}
a_n=a_0+n\cdot d, \qquad n\in\mathbb{N}.
\end{align*}

Die geometrische Folge

Eine geometrische Folge ist eine Folge reeller Zahlen mit der Eigenschaft, dass der Quotient zweier aufeinander folgender Glieder \(g_n\) und \(g_{n-1}\), \(n\in\mathbb{N}\) konstant \(q\) (wie Quotient) ist. Als Formel bedeutet das \(\frac{g_n}{g_{n-1}}=q\). Mit einem Startwert \(g_0\) folgt daraus die rekursive Darstellung
\begin{align*}
g_n=g_{n-1}\cdot q.
\end{align*}
Daraus schließen wir intuitiv und auch induktiv die explizite Darstellung
\begin{align*}
g_n=g_0\cdot q^n, \qquad n\in\mathbb{N}.
\end{align*}

Anmerkungen

Wir möchten anmerken, dass die Ähnlichkeit der zwei Definitionen nicht zufällig ist, die arithmetische Folge wächst additiv, die geometrische multiplikativ.

Die geometrische Folge tritt in vielen Wachstums- und Zerfallsprozessen in der Natur auf, in der Zinsrechnung haben sowohl arithmetische als auch geometrische Folge ihren Platz und die Vermischung der zwei Folgen habt ihr im Beispiel Holzwachstum gesehen.

Beispiele

Wir beginnen mit den Beispielen des Kapitels Folgen.

Erneut das Haarwachstum:

Lösung:

Das Haarwachstum ist nun offensichtlich eine arithmetische Folge mit \(d=\frac{1}{7}\) und \(a_0=0,9\). Wir erhalten dieselbe Darstellung
\begin{align*}
& a_0=0,9 \\
& a_n=a_{n-1}+\frac{1}{7}\text{ oder } \\
& a_n=\frac{1}{7}\cdot n +0,9.
\end{align*}


Nun können wir die unterschiedlichsten Fragen beantworten, zum Beispiel "wann sind die Haare länger als 30 cm". Mathematisch ausgedrückt wird das durch den Term \(a_n>30\) welchen wir wie folgt lösen
\begin{align*}
& a_n>30 \\
& \frac{1}{7}\cdot n +0,9>30 \\
& \frac{1}{7}\cdot n >29,1 \\
& n>203,7.
\end{align*}

 


Nach 204 Tagen hat die Haarlänge 30 cm erreicht.

Unbekannte Darstellung einer Folge:

Von einer arithmetischen Folge weiß man, dass das dritte Folgenglied (das ist ... \(a_0\) ... \(a_1\) ... \(a_2\)!) den Wert 5 hat. Das fünfte hat den Wert 8. Geben Sie explizite und rekursive Darstellung der arithmetischen Folge an.

Lösung:

Wir suchen demnach \(d\) und \(a_0\). Wir wissen intuitiv, dass zwischen dem dritten und den fünften Glied zwei mal \(d\) addiert wurde. Zudem wissen wir den Wert von \(a_2\) und erhalten zwei Gleichungen
\begin{align*}
& I: & a_4-a_2=8-5=3=2d\\
& II: & a_2=5=a_0+2d\\
\hline
& I: & 3=2d\\
& II: & 5=a_0+2d\\
\end{align*}


Das Gleichungssystem hat die Lösung \(d=1,5\) und \(a_0=2\) und wir erhalten die arithmetische Folge
\begin{align*}
& a_0=2 \\
& a_n=a_{n-1}+1,5
& a_n=n\cdot 1,5+2.
\end{align*}

Erneut das Kryptonit:

Der Zerfall ist nun eine geometrische Folge (Hinweis: Halbieren entspricht der Multiplikation \(\cdot\frac{1}{2}\)).

Lösung:

Als unsere Zeitschritte wählen wir Jahre. Wir kennen den Wert \(a_8=\frac{1}{2}a_0\) und berechnen daraus unser \(q\)
\begin{align*}
& a_8=a_0\cdot q^8 = \frac{1}{2}a_0 \\
& q^8=\frac{1}{2}\\
& q=\sqrt[8]{\frac{1}{2}}\approx 0,917.
\end{align*}

 


Wir ignorieren dabei die negative Wurzel, ansonsten hätten wir zum Teil eine negative Kryptonitmenge. Die Fragestellung \(a_n<0,1 a_0\) führt dann auf die Rechnung
\begin{align*}
a_n&<0,1 a_0 \\
a_0 \cdot 0,917^n &< 0,1 a_0 \\
0,917^n &<0,1 \\
n\cdot \log (0,917) &< \log (0,1) \\
n&> \frac{\log (0,1)}{\log (0,917)}\\
n&>26,574.
\end{align*}

 


Nach 27 Jahren sind also weniger als zehn Prozent des ursprünglichen Materials vorhanden. Das Ungleichungszeichen dreht sich übrigens um, da \(\log (0,917)=-0,087<0\) gilt und wir damit durch eine negative Zahl dividieren.

Bakterielles Wachstum:

Bakterien vermehren sich unter den richtigen Bedingungen extrem rasant. Die Vermehrung der Bakterien erfolgt dabei asexuell durch eine Zellteilung, das Bakterium verdoppelt sich. Man spricht daher in der Biologie von einer Generationszeit, dies ist die Dauer, bis sich die Zahl der Individuen einer Population von Lebewesen verdoppelt hat. Bei einem Tuberkulosebakterium beträgt diese 18 Stunden. Durch eine Tröpfcheninfektion geraten 100 Bakterien in den Kreislauf eines Menschen. Wann sind mehr als \(10^6\) Bakterien im Menschen?

Lösung:

Das bakterielle Wachstum kann durch eine geometrische Folge modelliert werden, der Hinweis war hier die Verdopplung (\(\cdot 2\)). Verwenden wir als Zeiteinheit Stunden, so wissen wir zwei Werte unserer Folge, nämlich \(a_0=100\) und \(a_{18}=200\), da sich nach 18 Stunden die Startanzahl verdoppelt hat. Damit werden wir eine Folge aufstellen können - wir benötigen noch \(q\) - und die Fragestellung \(a_n>10^6\) beantworten können.
\begin{align*}
& a_{18}=a_0\cdot q^{18} =100\cdot q^{18}=200\\
& q^{18}=2\\
& q=\sqrt[18]{2}\approx 1,0393
\end{align*}
 

Dabei haben wir intuitiv nur die positive Lösung 1,0393 betrachtet, ansonsten hätten wir zum Teil eine negative Bakterienanzahl. Nun gehen wir an die eigentliche Fragestellung
\begin{align*}
& a_n>10^6\\
& 100\cdot 1,0393^n>10^6\\
& 1,0393^n>10^4 \\
& n\cdot \log (1,0393)>4\log (10) \\
& n>238,935.
\end{align*}
 
 
 

Nach 239 Stunden, also fast 10 Tagen, haben wir eine Millionen Bakterien im Körper.

Anmerkung: Wir möchten anmerken, dass die 100 Bakterien zu Beginn sowie die eine Millionen als kritische Dosis frei gewählt sind. Die Generationszeit von 18 Stunden sind jedoch exakt und für ein Bakterium sehr langsam. Quelle: Wikipedia