Inhalt
» Das Bogenmaß
» Die Formel
» Die Graphen
» Periode, Nullstellen und Extremwerte
» Die Amplitude
» Die Frequenz
» Aufgaben
» Anmerkungen

Schwingungen umgeben uns in der Natur. Der Schal, der Wasserstand bei Ebbe und Flut, die Atmung der Lunge, all dies sind Geschehnisse, die wir mit mehr oder weniger komplizierten trigonometrischen Funktionen modellieren können. Wir besprechen hier die absoluten Grundlagen dieser Funktionen. Die trigonometrischen Funktionen werden oft auch Winkel- oder Kreisfunktionen genannt. Wir nutzen alle Bezeichnungen synonym. Zunächst blicken wir auf die einfacheren Funktionen Sinus und Cosinus, verstehen wir diese, schließen wir in den Anmerkungen kurz auf den Tangens.

Das Bogenmaß

In der Trigonometrie nutzen wir Sinus, Cosinus und Tangens im Gradmaß. Viel früher noch als die Winkelfunktionen lernt ihr etwas über das Bogenmaß (Radiant). Das Bogenmaß ist wie das Gradmaß ein Winkelmaß. Es entspricht der Länge des Bogens (am Einheitskreis) des dazugehörigen Winkels.

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Auch die Winkelfunktionen können statt im Gradmaß im entsprechenden Bogenmaß arbeiten. Viele Taschenrechner müssen dafür umgestellt werden. Die wichtigsten Umrechnungen noch einmal:

Winkelmaß Bogenmaß (in rad)
0 0
\(90^\circ\) \(\frac{\pi}{2}\approx 1,57\)
\(180^\circ\) \(\pi\approx 3,14\)
\(360^\circ\) \(2\pi\approx 6,28\)
\(1^\circ\) \(\frac{2\pi}{360}\)
\(\frac{360^\circ}{2\pi}\) \(1\)

Streng genommen könnte man natürlich für unsere Winkelfunktionen als unabhängige Variable \(x\) auch Grad einsetzen! Aber wir erhalten dann auf natürliche Weise Probleme, möchten wir Funktionen wie \(\sin (x)\) mit der Funktion \(x^2\) vergleichen, denn was ist zum Beispiel \((30^\circ)^2\)?

Die Formel

Wir betrachten zu Beginn die Funktionen
\begin{align*}
g(x)=a\cdot \sin (f\cdot x),\quad h(x)=a\cdot \cos (x)
\end{align*}
mit \(a, f\in \mathbb{R}^+\).

Nicht trivial ist der Definitionsbereich, er beträgt \(D_g=D_h=\mathbb{R}\), dies exakt herzuleiten lernt man erst an der Universität. Ganz intuitiv können wir jedoch sagen, wir dürfen jedes Gradmaß in unsere Winkelfunktionen einsetzen und daher auch jedes Bogenmaß. Daraus folgt die Definitionsmenge.

Die Graphen

Wir betrachten zuerst die einfachsten Graphen mit \(a=f=1\):

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Anscheinend sind beide Funktionen nach unten durch \(1\) und nach oben durch \(-1\) beschränkt. Dies kann man an einer Wertetabelle überprüfen und am Einheitskreis herleiten (siehe Anmerkungen). Wir erkennen jedoch nicht, was die \(x\)-Koordinaten der Extrema oder der Nullstellen sind. Dies ändert sich wenn wir unsere \(x\)-Achse in Vielfache von \(\pi\) beschriften.

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Nun erkennen wir deutlich die Nullstellen und Extrema und vor allem, dass sich beide Funktionen nach \(2\pi\) wiederholen. Wir nennen solche Funktionen periodisch.

Periode, Nullstellen und Extremwerte

An obigen Graphen erkennen wir, dass sich die Funktionswerte nach \(2\pi\) wiederholen. Die trigonometrischen Funktionen sind die ersten Funktionen die uns begegnen und diese Eigenschaft besitzen. Mathematisch wirkt die exakte Definition der Periodizität ein wenig sperrig, ihr findet sie in den Anmerkungen.

Wir sehen, und wissen bereits vom Einheitskreis, dass der Sinus seine Nullstellen bei ganzzahligen Vielfachen von \(\pi\) hat, mathematisch ausgedrückt für \(x=k\cdot \pi, k\in\mathbb{Z}\). Analog erkennen wir, dass der Cosinus Nullstellen bei \(x=(k+\frac{1}{2})\cdot \pi, k\in\mathbb{Z}\) hat. Die Extrema haben sie genau vice versa. In den Anmerkungen behandeln wir kurz das Warum.

Die Amplitude \(a\)

Wie immer untersuchen wir die Einflüsse der Parameter einer Funktion intuitiv. Die sogenannte Amplitude ist sehr leicht zu erkennen.

[Hier entsteht bald ein interaktiver Geogebra-Inhalt]

Sie gibt die Höhe der Funktion (über der \(x\)-Achse) an. Man kann auch allgemein zeigen, dass eine Funktion \(g\) durch \(a\cdot g\) vertikal gestreckt/gestaucht wird, da jeder Funktionswert \(g(x)\) um ein \(a\)-faches multipliziert wird.

Die Frequenz \(f\)

Die Frequenz \(f\) multipliziert das Argument der Winkelfunktion. Dadurch wird die Funktion schneller oder langsamer um den Faktor \(f\).

[Hier entsteht bald ein interaktiver Geogebra-Inhalt]

Woran liegt das und was passiert genau? Man könnte allgemein zeigen, dass eine Funktion \(g\) durch \(\cdot g(f\cdot x) \) horizontal gestreckt/gestaucht wird da jedes Argument \(x\) der Funktion um ein \(f\)-faches multipliziert wird. Wir versuchen es jedoch ein wenig umgangssprachlicher. Stellen wir uns vor, dass zum Beispiel die Sinusfunktion primär eine Sache macht, sobald das Argument \(2\pi\) erreicht, beginnt Sie, sich zu wiederholen. Dies geschieht bei der Funktion \(\sin (x)\) an der Stelle \(x=2\pi\). Betrachten wir jedoch die Funktion \(\sin (2x)\) müssen wir was einsetzen um im Argument \(2\pi\) zu erhalten? Genau, \(x=\pi\). Der Sinus wiederholt sich demnach schneller. Und bei der Funktion \(\sin (\frac{1}{2}x)\) müssen wir \(x=4\pi\) einsetzen um im Argument \(2\pi\) zu erhalten, der Sinus verlangsamt sich also. So macht man es mit allen signifikanten Punkten (Nullstellen, Extremstellen).

Aufgaben

Atemzyklus
(aus: Datenquelle: Timischl, W. (1995). Biomathematik: Eine Einführung für Biologen und Mediziner. 2. Auflage. Wien u. a.: Springer.)

Der Luftstrom beim Ein- und Ausatmen einer Person im Ruhezustand ändert sich in Abhängigkeit von der Zeit nach einer Funktion \(f\). Zum Zeitpunkt \(t=0\) beginnt ein Atemzyklus. \(f(t)\) ist die bewegte Luftmenge in Litern pro Sekunde zum Zeitpunkt \(t\) in Sekunden und wird durch die Funktion \(f(t)=0,5\cdot \sin (0,4 \cdot \pi \cdot t)\) beschrieben. Wie lange dauert ein Atemzyklus?

Lösung

Betrachten wir eine allgemeine Skizze einer Sinusfunktion,

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so ist an der markierten Stelle offensichtlich der erste Atemzyklus vorbei und der nächste beginnt. Wir suchen also die Periode unserer Funktion \(f\). Die Sinusfunktion wiederholt sich sofern ihr Argument \(2\pi\) beträgt. Wir müssen also
\begin{align*}
0,4 \cdot \pi \cdot t=2\pi
\end{align*}
lösen, dies geht ganz einfach und wir erhalten \(t=5\) Sekunden. Ein Atemzyklus dauert in diesem Modell also fünf Sekunden.

Gezeiten

Die Gezeiten sind periodische Wasserbewegungen des Ozeans die wir primär an Küsten beobachten können. In \(\approx 25\) Stunden haben wir üblicherweise zwei mal Ebbe und Flut. Der Wasserstand schwankt dabei im April nahe Hamburg um bis zu 40 cm. Modellieren Sie den Wasserstand \(W\) in Abhängigkeit der Zeit in Stunden.

Lösung

Wir können sowohl Sinus als auch Cosinus für unser Modell verwenden. Die Wasserstandsschwankung von 40 cm führt zu einer Amplitude von 20cm=0,2 m. Daraus folgt \(W(t)=0,2\sin (f\cdot t)\). Die Periode soll nicht 25 h dauern sondern 12,5 Stunden. Denn es tritt in 25 Stunden zwei mal Ebbe und Flut ein. Wir betrachten daher
\begin{align*}
& f\cdot 12,5=2\pi \\
& f=\frac{4}{25}\pi\\
&\Rightarrow W(t)=0,2\sin (\frac{4}{25}\pi\cdot t)
\end{align*}
Blicken wir nun auf unseren Graph

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Anmerkung: Wir gehen in unserem Modell aus, dass zum Zeitpunkt \(t=0\) der Wasserstand mittig ist. Möchten wir \(t\) als Uhrzeit definieren, brauchen wir die sogenannte Phasenverschiebung, damit erneut gelöst findet ihr das Beispiel in den Anmerkungen.

Anmerkungen
Periodizität

Eine Funktion wird periodisch genannt, sobald es ein \(p\) gibt, sodass für alle \(x\in\mathbb{R}\) gilt \(f(x)=f(x+p)\). Das kleinste solche \(p>0\) wird Periode genannt. Natürlich wiederholen sich Sinus und Cosinus auch nach zum Beispiel \(4\pi\), weshalb man nach dem kleinsten Wert \(p\) sucht.

Der Tangens

Im rechtwinkligen Dreieck tritt der Tangens als Rechenoperation ganz natürlich als Verhältnis von Gegenkathete (G) und Ankathete (A) auf. Zuvor lernt man meist Sinus respektive Cosinus als Verhältnisse von Gegenkathete respektive Cosinus zu Hypothenuse (H). Es gilt also kurz wiederholt
\begin{align*}
\sin (\alpha)=\frac{G}{H},\quad \cos (\alpha)=\frac{A}{H}, \tan (\alpha)=\frac{G}{A}.
\end{align*}
Daraus können wir
\begin{align*}
\frac{\sin (\alpha)}{\cos (\alpha)}=\frac{\frac{G}{H}}{\frac{A}{H}}=\frac{A}{G} =\tan (\alpha)
\end{align*}
schließen und genau so ist auch die Tangensfunktion definiert:
\begin{align*}
\tan (x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}.
\end{align*}

Die Tangensfunktion hat ...

... aufgrund der Nullstellen des Cosinus Definitionsmenge \(D_{\tan}=\mathbb{R}\setminus \{(k+\frac{1}{2})\cdot \pi, k\in\mathbb{Z}\}\) (Division durch 0). Daher hat der Tangens an diesen Stellen eine vertikale Asymptote.
... Periode \(\pi\).

Letzteres kann erneut am Einheitskreis gezeigt werden. Der Graph des Tangens ist der folgende

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Die Phasenverschiebung

Eine Phasenverschiebung ist eine Erweiterung unserer Funktion \(a\cdot \sin (f\cdot x +p)\), manchmal wird sie auch als \(a\cdot \sin (f\cdot (x +p))\) definiert. Damit kann man eine Funktion horizontal verschieben (wie auch jede andere Funktion durch \(f(x+p)\) horizontal verschoben wird. Sei also um vier Uhr morgens die erste Flut. Wir wählen dann anstatt \(W_1(t)=0,2\sin (\frac{4}{25}\pi\cdot t)\) den alternativen Lösungsweg \(W_2(t)=0,2\cos (\frac{4}{25}\pi\cdot t)\) und verschieben das Maximum des Cosinus (bei \(t=0\)) um vier Stunden nach rechts zu
\begin{align*}
W_3(t)=0,2\cos (\frac{4}{25}\pi\cdot (t-4))
\end{align*}

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