Inhalt
» Vorbemerkungen
» Die Formel
» Geometrische Analyse
» Nullstellen und andere Punkte
» Beispiele

Vorbemerkungen

In diesem Kapitel geht es um die Polynomfunktionen. Die zwei wichtigsten Polynomfunktionen, die lineare Funktion und das quadratische Polynom findet ihr ebenfalls hier.

funktionen/polynomfunktion_1

Auch alle Potenzfunktionen mit natürlicher Hochzahl könnt ihr bald hier nachlesen.

funktionen/polynomfunktion_2

Wie wir geometrisch analysieren werden, wiederholen sich in Polynomfunktionen gewisse Muster immer wieder, weshalb wir unsere Formeln zwar allgemein halten werden aber uns in Beispielen primär auf Polynome dritten und vierten Grades konzentrieren.

Die Formel

Eine Polynomfunktion vom Grad \(n\) ist eine Funktion der Form
\begin{align*}
f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots a_nx^n
\end{align*}
Dabei sind die Parameter \(a_0\) bis \(a_{n-1}\) aus \(\mathbb{R}\). Es wird \(a_n\in \mathbb{R}\setminus \{ 0 \}\) angenommen, denn wäre \(a_n=0\), so hätte unser Polynom nur Grad \(n-1\).

Betrachten wir unsere Beispiele aus der Einleitung, für die Gerade \(f\) galt
\begin{align*}
f(x)=-\frac{2}{3}x+5,
\end{align*}
in der Schreibweise der linearen Funktionen bezeichneten wir \(5=d\) als den y-Abschnitt und \(-\frac{2}{3}=k\) als die Steigung. Als Polynom betrachtet gilt \(a_0=5\) und \(a_1=-\frac{2}{3}\) und die lineare Funktion ist ein Polynom erster Ordnung (\(x=x^1\)). Bei quadratischen Funktion wie \(g\) bezeichneten wir die Parameter aufgrund der Ähnlichkeit zur Lösungsformel mit \(a,b,c\). Als Polynomfunktion erhalten wir
\begin{align*}
& g(x)=\frac{1}{4}(x+1)^2+1=\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x+\frac{5}{4} \\
& \Rightarrow a_0=\frac{5}{4}, a_1=\frac{1}{2}, a_2=\frac{1}{4}
\end{align*}


und die quadratische Funktion ist ein Polynom zweiten Grades.

Bei unseren Potenzfunktionen \(h\) und \(p\) mit
\begin{align*}
& h(x)=\frac{1}{3}x^3+1 \\
& p(x)=-\frac{1}{3}x^4+4
\end{align*}


erhalten wir bei \(h\) für \(a_3=\frac{1}{3}\), \(a_0=1\) und \(a_1=a_2=0\). Ähnlich haben wir bei \(p\) \(a_4= -\frac{1}{3}\), \(a_0=4\) und \(a_1=a_2=a_3=0\). Oftmals sagt man, "die Mittelglieder sind Null". Dann gilt, eine Polynomfunktion vom Grad \(n\) ist eine Potenzfunktion, wenn \(a_{n-1}=\dots =a_1=0\) gilt.

Geometrische Analyse

Betrachten wir die Graphen aller vier Polynomfunktionen, so sehen wir, dass alle durch \((0;a_0)\) verlaufen,

funktionen/polynomfunktion_3

die konstante Komponente einer Polynomfunktion gibt nicht nur bei der linearen Funktion sondern bei jedem Polynom den \(y\)-Abschnitt an, da für ein beliebiges Polynom \(f\) gilt
\begin{align*}
f(0)=a_0+a_1\cdot 0+a_2\cdot 0^2+\cdots a_n\cdot 0^n=a_0
\end{align*}
woraus der Punkt \((0;a_0)\) resultiert. Betrachten wir nun Polynome, deren Mittelglieder nicht 0 sind und beginnen mit Polynomen vom Grad \(n=3\), wir betrachten
\begin{align*}
& f(x)=-\frac{1}{8}x^3-\frac{1}{8}x+4\\
& g(x)=\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{4}x^2-3x \\
& p(x)=x^3+18x^2+108x+220
\end{align*}


und sehen, dass ähnlich zu den Potenzfunktionen vom Grad 3 auch bei beliebigen Polynomfunktionen dritten Grades der Faktor \(a_3\) vor \(x^3\) entscheidet, ob das Polynom "nach oben oder nach unten läuft". Die Polynomfunktion \(f\) "verläuft primär" aufgrund \(a_3=\frac{-1}{8}\) nach unten, die anderen beiden nach oben. "Neu" im Vergleich zu Potenzfunktionen vom Grad 3 sind jedoch die "Wellen", der Monotoniewechsel, im gekennzeichneten Bereich. Liegt das an den Mittelgliedern von \(g\)? Die Funktionen \(f\) und \(p\) haben jedoch auch Mittelglieder ungleich 0 und ähneln unseren bekannten Potenzfunktion. Eine komplette Analyse dieser Problemstellung ist erst mit Hilfe der Differentialrechnung möglich, man kann jedoch zeigen, dass es drei Formen von Polynomen dritten Grades gibt, die je nach Vorzeichen von \(a_3\) nach oben

funktionen/polynomfunktion_61

oder nach unten

funktionen/polynomfunktion_62

schauen. Ähnliche Beobachtungen kann man für die Polynome vierten Grades machen. Es gibt drei "verschiedene Formen" und in Abhängigkeit von \(a_4\) in \(a_4x^4\) schauen die Polynomfunktionen nach obenfunktionen/polynomfunktion_71

 

oder nach unten

funktionen/polynomfunktion_72

 

Außer mit einer Wertetabelle fällt es uns daher schwer, eine beliebige Polynomfunktion zu skizzieren. Oft helfen uns aber die folgenden Punkte.

Nullstellen und andere Punkte

Die Nullstellen eines Polynomes \(f\) entsprechen den Lösungen der Gleichung
\begin{align*}
a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots a_nx^n=0.
\end{align*}
Laut dem Satz von Gauß und seinen Folgerungen

  • hat diese Gleichung in \(\mathbb{R}\) maximal \(n\) Lösungen.
  • hat diese Gleichung in \(\mathbb{R}\) mindestens eine Lösung, wenn \(n\) ungerade ist.

Dies deckt sich mit unseren bisherigen Erkenntnissen, eine lineare Funktion, ein Polynom ersten Grades hat immer eine Nullstelle und eine quadratische Funktion, ein Polynom zweiten Grades, hat 0,1 oder 2 Nullstellen. Wir wissen nun, dass ein Polynom dritten Grades mindestens eine und maximal drei Nullstellen hat, dies deckt sich mit unseren geometrischen Überlegungen zuvor. Wir können Gleichungen höheren Grades im allgemeinen nicht mehr händisch lösen. Möglichkeiten, die Nullstellen manchmal trotzdem zu finden, sind das Nullstellen raten, die Polynomdivision, das Faktorisieren und das Substituieren.

Für lokale Extrema, also Minima und Maxima, gilt, dass eine Polynomfunktion vom Grad \(n\)

  • maximal \(n-1\) Extrema hat.
  • mindestens ein Extrema hat, wenn \(n\) gerade ist.

Umgangssprachlich muss ein Polynom mit \(n\) ungerade von oben nach unten irgendwann durch die \(x\)-Achse. Es hat also mindestens eine Nullstelle. Analog muss ein Polynom mit \(n\) gerade, wenn es von oben kommt, irgendwann wieder nach oben, es benötigt dazu also ein Minimum.

Beispiele

Analyse von Graphen: Analysieren Sie den folgenden Graph der Funktion \(g\) und lesen Sie so viele Infos wie möglich ab.

funktionen/polynomfunktion_beispiele_1

Lösung

An der grundsätzlichen Form erkennen wir, dass \(n\) gerade ist. Zudem gilt \(a_n>0\), denn die Funktion schaut nach oben. Wir haben drei Extrema, also ist der Grad mindestens vier!

Anmerkung: Der Grad der Polynomfunktion ist tatsächlich vier. Wir finden jedoch Graphen mit zum Beispiel Grad 6, die auch die selben Eigenschaften erfüllen.

funktionen/polynomfunktion_beispiele_2

Parameter finden: Gegeben ist die Polynomfunktion \(g(x)=\frac{x^4}{5}-\frac{x^3}{5}-\frac{4 x^2}{5}+\frac{4 x}{5}+a_0\) mit Graph

funktionen/polynomfunktion_beispiele_3

Lösung

Wir wissen, dass jede Polynomfunktion durch den Punkt \((0;a_0)\) geht. Der Graph von \(g\) verläuft durch \((0;0)\), daher muss wegen

\(g(0)=\frac{0}{5}-\frac{0}{5}-\frac{0}{5}+\frac{0}{5}+a_0=0\)

dann \(a_0=0\) gelten.

Nullstellen finden: Gegeben ist die Funktion \(g(x)=\frac{x^4}{5}-\frac{x^3}{5}-\frac{4 x^2}{5}+\frac{4 x}{5}\). Finden Sie alle Nullstellen.

Lösung

Wir vergessen natürlich, dass wir gerade den Graphen von \(g\) gesehen haben. Wir müssen zum auffinden der Nullstellen die Gleichung
\begin{align*}
& g(x)=0 \\
& \frac{x^4}{5}-\frac{x^3}{5}-\frac{4 x^2}{5}+\frac{4 x}{5} =0
\end{align*}
lösen und erhalten mit einigen geschickten Schritten
\begin{align*}
& \frac{x^4}{5}-\frac{x^3}{5}-\frac{4 x^2}{5}+\frac{4 x}{5} =0\\
& x^4-x^3-4x^2+4x=0\\
& x\cdot (x^3-x^2-4x+4)=0.
\end{align*}


Wir erhalten daher aufgrund des Produktsatzes die ersten Nullstelle \(x_1=0\) und müssen nur noch die Gleichung
\begin{align*}
x^3-x^2-4x+4=0
\end{align*}
lösen. Im Kapitel Nullstellen raten LINK lernen wir, dass wir davon ausgehen, dass die weiteren Nullstellen aus \(\{ \pm 1, \pm 2, \pm 4\}\) sind, da dies die Teiler von 4 sind. Wir probieren \(x=1\) und erhalten tatsächlich \(1^3-1^2-4\cdot 1+4=0\). Unsere zweite Nullstelle ist also an der Stelle \(x_2=1\). Die Polynomdivision mit \((x-1)\) bringt uns dann
\begin{align*}
x^3-x^2-4x+4=(x-1)(x^2-4)
\end{align*}
woher resultiert, dass nur noch die Gleichung
\begin{align*}
x^2-4=0
\end{align*}
zu lösen ist. Wir erhalten \(x_3=2\) und \(x_4=-2\) als Lösungen.

Anmerkung: Mit Hilfe der vier Nullstellen können wir die Funktion bereits skizzieren. Angenommen, \(g(x)=\frac{x^4}{5}-\frac{x^3}{5}-\frac{4 x^2}{5}+\frac{4 x}{5}\) ist gegeben und wir haben unsere Nullstellen berechnet. Dann können wir diese Einzeichnen und mit unserem Wissen über die ungefähre Form einer Polynomfunktion vierten Grades diese einzeichnen.

funktionen/polynomfunktion_beispiele_4

Der genaue Verlauf ist uns bis auf die Nullstellen unbekannt weshalb noch vergleichbare Polynomfunktionen eingezeichnet worden sind.