Inhalt
» Die Formel
» Die Graphen
» Parameter \(r\in\mathbb{N}\)
» Parameter \(r\in\mathbb{Z}\backslash\mathbb{N}\)
» Parameter \(r\in\mathbb{Q}\)
» Beispiele
» Anmerkungen

Die Potenzfunktionen sind eine Sammlung eigentlich unterschiedlicher Funktionen mit ähnlicher Darstellungsform. An dieser Form sieht man sehr leicht den Einfluss unterschiedlicher Parameter einer Funktion. Potenzfunkionen mit speziellen Parameterkombinationen treten in Natur, Wirtschaft und Technik auf, so zum Beispiel die direkte und indirekte Proportionalität. Andere klassische Beispiele sind Flächen- und Volumsberechnungen in der Geometrie.

Die Formel

Eine Potenzfunktion ist eine Funktion \(f\) von \(D_f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) mit Funktionsgleichung \(f(x)=a\cdot x^r+b\). Dabei gilt im allgemeinsten Fall \(a,b,r\in\mathbb{R}\).

Den "größten" Einfluss auf unsere Funktion hat \(r\). Wir werden uns nur auf einige bestimmte, repräsentative \(r\) konzentrieren und davon abhängig \(a\) und \(b\) analysieren. Wir werden auch sehen, dass der noch nicht festgelegte Definitionsbereich \(D_f\) von \(r\) abhängig ist.

Die Graphen

In der folgenden Grafik seht ihr einige der vielen Möglichkeiten für Potenzfunktionen,

potenzfunktionen0

betrachten wir das ganze interaktiv, sehen wir, dass es nicht so einfach ist die Übersicht zu behalten.

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Wir schränken uns daher schrittweise auf verschiedene \(r\in\mathbb{R}\) ein.

Parameter \(r\in\mathbb{N}\)

Wir beginnen mit \(r\) aus den natürlichen Zahlen. Einige Potenzfunktionen kennen wir dann schon. Für \(r=0\) erhalten wir die relativ uninteressante konstante Funktion \(a+b\). Gehen wir weiter erhalten wir für \(r=1\) die lineare Funktion \(f\) mit
\begin{align*}
f(x)=k\cdot x+d\approx a\cdot x^1+b
\end{align*}potenzfunktionen22


und für \(r=2\) die achsensymmetrische Parabel
\begin{align*}
g(x)=a\cdot x^2+0\cdot x+c\approx a\cdot x^2+b.
\end{align*}

potenzfunktionen21

Für \(r=3\) betrachten wir den Graph der einfachsten Form \(a=1\), \(b=0\) und erhalten \(h(x)=x^3\)

potenzfunktionen3

Der rechte Ast des Graphen erinnert uns an eine Parabel und intuitiv sind wir mit dem linken Ast ebenso zufrieden, denn "negative Zahlen hoch ungerader Potenz bleiben negativ", als Beispiel \((-2)^3=-8\). Ab \(r=4\) erkennen wir nun analog zu \(r=2\) ein Muster, welches sich fortsetzt.

Zusammengefasst gilt also für \(r\in\mathbb{N}\)

potenzfunktionen41

Welchen Einfluss haben nun \(a\) und \(b\)? Wir versuchen die Grundidee von \(k\) und \(d\) der linearen Funktion sowie \(a\) und \(c\) der quadratischen Funktion auf unsere Potenzfunktion zu übertragen nachdem wir uns das ganze interaktiv angeschaut haben.

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Wir erkennen,


dass \(a\) eine Streckung der Potenzfunktion ist
dass \(b\) die Potenzfunktion vertikal verschiebt.

Als Zusatzinformation sehen wir, dass alle Potenzfunktionen \(f\) mit \(r\in\mathbb{N}\) Polynome sind und schließen daraus, dass die maximale Definitionsmenge durch \(D_f=\mathbb{R}\) gegeben ist.

Parameter \(r\in\mathbb{Z}\setminus \mathbb{N}\)

Sei nun aus Verständlichkeitsgründen \(r\) im folgenden eine positive Zahl und \(-r\) die dazugehörige negative Zahl. Wir können an der Abbildung überprüfen, dass \(a\) und \(c\) die selben Auswirkungen haben wie zuvor und betrachten erneut den einfachsten Fall \(a=1\), \(c=0\) und \(r=1\), wir blicken also auf
\begin{align*}
f(x)=a\cdot x^{-r}+b= x^{-1} =\frac{1}{x}.
\end{align*}
Wir können daher schließen, dass die Definitionsmenge, anders als zuvor, eingeschränkt ist aufgrund der möglichen Division durch 0. Wir erhalten \(D_f=\mathbb{R}\setminus \{ 0\}\).

Betrachten wir nun weiter \(\frac{1}{x}\).

potenzfunktionen51

Oftmals herrscht Unverständnis für die Form des Graphen weshalb wir hier noch einmal eine kleine Wertetabelle mit ausgewählten Werten betrachten wollen

 

x -10 -5 -1 -0,5 -0,1 0,1 0,5 1 5 10
f(x) -0,1 -0,2 1 -2 -10 10 2 1 0,5 0,1

 

potenzfunktionen52

Die Funktion hat eine vertikale Asymptote bei \(x=0\) und dies gilt analog für alle Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten. Wir haben allgemein eine horizontale Asymptote \(y=b\) da
\begin{align*}
& \lim_{n\to\pm\infty} f(x)=\lim_{n\to\pm\infty} a\cdot x^r+b
& \lim_{n\to\pm\infty} a\cdot \frac{1}{x^r}+b=0+b
\end{align*}

Zum Abschluss der negativen Zahlen betrachten wir nun die Funktion für \(r=2\) respektive \(-r=-2\) (und erneut \(a=1\), \(b=0\))
\begin{align*}
f(x)=x^{-2}=\frac{1}{x^2}.
\end{align*}

Aufgrund des quadrierens liegen diesmal beide Äste im positiven Bereich. Wie im positiven haben wir auch im negativen aus analogen Gründen ein wiederkehrendes Muster.

potenzfunktionen6

Wir erweitern unsere Übersicht

potenzfunktionen42

Parameter \(r\in\mathbb{Q}\)

Sei im Folgenden nun \(r\) ein Bruch in der Form \(\frac{1}{q}\), \(q\in\mathbb{N}\). Wir wissen dann, dass wir die Potenzfunktion als \(q\)-te Wurzelfunktion umschreiben können. Blicken wir auf \(r=\frac{1}{2}\). Da wir den Einfluss von \(a\) und \(b\) ja schon kennen, setzen wir erneut \(a=1\) und \(b=0\)
\begin{align*}
f(x)=x^\frac{1}{2}=\sqrt[2]{x}=\sqrt{x}.
\end{align*}
Die Wurzelfunktionen haben dann als eingeschränkte Definitionsmenge \(D_f=\mathbb{R}^+_0\), da das Wurzelziehen von negativen Zahlen nicht definiert ist. Betrachten wir eine kurze Wertetabelle

x 0 1 4 9
f(x) 0 1 2 3

und die dazugehörige Zeichnung:

potenzfunktionen8

Wurzelfunktionen haben für alle \(r\) der Form \(\frac{1}{q}\) das selbe Verhalten wie wir im Folgenden sehen

potenzfunktionen9

Unsere endgültige Übersicht sieht wie folgt aus

potenzfunktionen43

Beispiele

Potenzfunktionen erkennen: Welche der folgenden Formeln aus der Anwendung kann durch eine Potenzfunktion modelliert werden?

  1. Die Oberfläche \(O=2r^2\cdot \pi +2r\cdot h \cdot \pi\) eines Zylinders in Abhängigkeit des Radius \(r\).
  2. Die Oberfläche \(O=2r^2\cdot \pi +2r\cdot h \cdot \pi\) eines Zylinders in Abhängigkeit der Höhe \(h\).
  3. Die benötigte Zeit \(t=\frac{v}{s}\) in Abhängigkeit der Länge \(s\) der Wegstrecke bei konstanter Geschwindigkeit \(v\).
  4. Das Volumen \(V=\frac{1}{3}r^2\cdot \pi h\) eines Drehkegels in Abhängigkeit der Höhe \(h\).
  5. Das Volumen \(V=\frac{1}{3}r^2\cdot \pi h\) eines Drehkegels in Abhängigkeit des Radius \(r\).
  6. Die Kosten \(K=k\cdot x+d\) eines Betriebes in Euro in Abhängigkeit der produzierten Stückzahl \(x\).

Lösung

Wir geben die jeweiligen Formeln sofern möglich an.

  1. \(O(r)=2r^2\cdot \pi +2r\cdot h \cdot pi\) hat umgeschrieben die Form \(f(x)=2x^2\pi +2x\cdot h \cdot pi=ax^2+bx\) und ist daher keine Potenzfunktion.
  2. In Abhängigkeit der Höhe \(h\) klappt das ganze jedoch schon. \(O(r)=2r^2\cdot \pi +2r\cdot h \cdot pi\) ist umgeschrieben \(f(x)=2r^2\cdot \pi +2r\cdot x \cdot pi=b+a\cdot x^1\).
  3. Die Zeitfunktion kann als \(t(s)=\frac{v}{s}\) geschrieben werden, dies entspricht \(f(x)=\frac{a}{x}=ax^{-1}\).
  4. Einfach umzuschreiben ist auch \(V(h)=\frac{1}{3}r^2\cdot \pi h\) als \(f(x)=ax\).
  5. Analog erhalten wir mit \(V(r)=\frac{1}{3}r^2\cdot \pi h\) die Potenzfunktion \(f(x)=ax^2\).
  6. Wir haben eine lineare Kostenfunktion und wissen ja bereits, dass lineare Funktionen immer auch Potenzfunktionen sind und so wird aus \(K(x)=k\cdot x+d\) unsere Potenzfunktion \(f(x)=a\cdot x+b\)

Wir sehen also, Potenzfunktionen treten in vielen Bereichen auf.

Anmerkungen

Proportionalitäten: Die Potenzfunktionen \(f\) und \(g\) mit \(r_f=1, b_f=0\) respektive \(r_g=-1, b_g=0\)
\begin{align*}
f(x)=a\cdot x,\qquad g(x)=ax^{-1}=\frac{a}{x}
\end{align*}
nennt man auch direkte und indirekte Proportionalität.

Manchmal werden auch Wurzelfunktionen mit ungeraden \(q\) auf ganz \(\mathbb{R}\) definiert. Dies birgt aber auch einige Nachteile. Seht mehr bezüglich dieser Diskussion hier und hier.