Inhalt
» Die Formel
» Der Graph
» Beispiele und weitere Eigenschaften

Exponentialfunktionen treten ganz natürlich in einer Vielzahl von Anwendungen in der Natur, der Finanzwissenschaft und der Technik auf. Einleitend wollen wir die drei bekanntesten Beispiele nennen.

Der radioaktive Zerfall eines Elements wird sehr gut über die Exponentialfunktion beschrieben. Man weiß zwar nicht, wann ein einzelnes Atom zerfällt, aber man kann sehr genau sagen, ab wann nur noch die Hälfte des Materials vorhanden ist. Wir nennen dies die Halbwertszeit, ihr habt sicherlich davon in Physik oder Chemie bereits gehört.

Bakterielles Wachstum entsteht durch Zellteilung. Nach der sogenannten Generationszeit hat sich im Schnitt jedes Bakterium verdoppelt und es existieren von da ab zwei identische Klone, welche sich wieder teilen werden. Diese Generationszeit beträgt 20 Minuten bei einem Colibakterium und bis zu 18 Stunden bei einem Tuberkulosebakterium.

Legt ihr langfristig Geld auf ein Sparbuch, erhaltet ihr darauf Zinsen, zum Beispiel 1,5 Prozent. Ein Jahr später erhaltet ihr auf eure Einlage und auf die Zinsen erneut Zinsen, sogenannte Zinseszinsen. Auch hier kann man die Exponentialfunktion nutzen.

Alle Prozesse werden durch eine Exponentialfunktion beschrieben, das letzte Beispiel beschreibt einen diskreten Prozess und das erste einen stetigen. Die Exponentialfunktion hat große Ähnlichkeiten zur geometrischen Folge. In den Anmerkungen gehen wir noch einmal darauf ein.

Die Formel

Motiviert durch die uns bekannte geometrische Folge beginnen wir diesmal direkt mit der Funktionsgleichung und vertiefen diese dann in den eben genannten Beispielen.

Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion \(f\) von \(D_f=\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) mit Funktionsgleichung \(f(x)=a\cdot b^x\). Dabei gilt \(b>0\).
Die verbreitete Darstellung hat die Form \(f(x)=a\cdot e^{\lambda x}\). Dabei ist \(e\) die Eulersche Zahl.

Beide Darstellungsformen haben Vor- und Nachteile. Meist gilt \(a>0\) um sich auf positive Funktionswerte einzuschränken.
Der Graph

Betrachten wir den Graph einer Exponentialfunktion in Abhängigkeit der Parameter \(a,b\) oder \(a,\lambda\).

Geogebra Datei öffnen

Uns fällt auf, dass beide Funktionen durch \((0;a)\) verlaufen. Das deckt sich mit den Funktionsgleichungen, denn es gilt
\begin{align*}
& f_1(0)=a\cdot b^0=a\\
& f_2(0)=a\cdot e^{\lambda\cdot 0}=a.
\end{align*}
Wir sehen, dass die Funktion \(f_1\) für \(b>0\) streng monoton wächst und für \(0<b<1\) streng monoto fällt. Analog steigt die Funktion für \(\lambda>0\) und fällt für \(\lambda <0\). Mit unserem Hausverstand begründet steigt die Funktion \(f_1\), da eine Zahl \(b>1\) potenziert immer größer wird, zum Beispiel \(2,4,8,16,32,\dots \). Eine Zahl \(b<1\) (und \(>0\)) wird analog beim potenzieren immer kleiner, zum Beispiel \(\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8}\frac{1}{16},\dots \). Mit Hilfe von ein wenig Algebra schließen wir ähnliches für \(f_2\), denn es gilt
\begin{align*}
a\cdot e^{\lambda\cdot x}=a\cdot (e^{\lambda})^x
\end{align*}
und \(e^{\lambda}\) in \(f_2\) entspricht demnach \(b\) in \(f_1\). Es gilt nun \(e^{\lambda}>1\) für \(\lambda >0\) und \(e^{\lambda}<1\) für \(\lambda<0\).

Wir erkennen, dass die \(y\)-Achse im Langzeitverhalten je nachdem, ob die Funktion fällt oder steigt, eine vertikale Asymptote ist.

Beispiele und weitere Eigenschaften

Tschernobyl: Bei der Reaktorkatastrophe von Tschernobyl am 26. April 1986 wurde unter anderem das radioaktive Isotop Casesium 137, abgekürzt \(Cs_{137}\) ausgestoßen. Die Halbwertszeit beträgt rund 30 Jahre. Durch radioaktiven Niederschlag wurden unter anderem Gebiete nordöstlich des Reaktors verseucht. Wir wollen den Zerfall dieses Materials mit einer Exponentialfunktion modellieren und schauen, wann weniger als ein Zehntel des radioaktiven Materials vorhanden ist.

Lösung

Wir definieren eine Funktion, welche die Anzahl \(N\) an Atomen in Abhängigkeit der Zeit \(t\) berechnet. Der Definitionsbereich unserer Funktion ist offensichtlich \([0;\infty )\), wobei wir uns zum Zeitpunkt 0 das Jahr des Reaktorunglücks 1986 vorstellen. Wir wissen nicht, wie viel \(Cs_{137}\) zum Zeitpunkt 0 vorhanden war. Wir werden sehen, dass dies bei Exponentialfunktionen öfter auftritt, aber kein Problem darstellt und definieren die uns unbekannte Anzahl \(N(0)\) einfach als \(N_0\).

exponentialfunktion2.svg

Wir suchen noch die Basis \(b\) der Funktion. Nach 30 Jahren ist die Hälfte der Menge \(N_0\) zerfallen, in eine Formel übersetzt liest sich das als
\begin{align*}
& N(30)=\frac{1}{2}N_0 \\
& N_0\cdot b^{30}=\frac{1}{2}N_0 \\
& b^{30}=\frac{1}{2} \\
& b=0,977 \\
\end{align*}

 


und wir haben unsere Funktion \(N(t)=N_0\cdot 0,977^t\). Analog liest sich die Forderung "weniger als ein Zehntel vorhanden" als
\begin{align*}
& N(t)<\frac{1}{10}N_0 \\
& N_0\cdot 0,997^t<\frac{1}{10}N_0 \\
& 0,997^t<\frac{1}{10} \\
& t\cdot \log (0,997)<\log (\frac{1}{10}) \\
& t>766,376.
\end{align*}

 


Bei der Division haben wir beachtet, dass \(\log (0,997)<0\) gilt. Es dauert also aufgerundet mindestens 767 Jahre bis die Caesium Menge auf ein Zehntel gesunken ist.

Bakterielles Wachstum: Die Anzahl der Colibakterien verdoppelt sich alle 20 Minuten, Tuberkulosebakterien benötigen dafür 18 Stunden. Gesucht sind die sogenannte Wachstumskonstanten \(\lambda_C\) und \(\lambda_T\).

Lösung

Erneut spielt die Anzahl zu Beginn keine Rolle und wir definieren den Startwert unserer Funktion daher mit \(N_0\). Unsere Funktion rechnet in Stunden oder in Minuten, um die zwei Wachstümer jedoch vergleichen zu können, müssen wir die selbe Zeitskalierung wählen. Wir entscheiden uns für Stunden, da 20 Minuten ein Drittel Stunden ist und wir lieber damit arbeiten als \(18\cdot 60\) Minuten. Analog zum vorigen Beispiel setzen wir unsere Exponentialfunktion an aber diesmal in der Form \(N_0\cdot e^{\lambda t}\). Ähnlich zu zuvor setzen wir für die Berechnung von \(\lambda\) die in der Angabe gegebene Zeit ein,
\begin{align*}
& N(18)=2N_0 \\
& N_0\cdot e^{18 \lambda_T}=2N_0\\
& e^{18 \lambda_T}=2\\
& (18 \lambda_T)=\operatorname{ln}(2)\\
& \lambda_T=0,039
\end{align*}


und analog erhalten wir
\begin{align*}
& N(\frac{1}{3})=2N_0 \\
&...\\
& \lambda_C=2,079.
\end{align*}

Das Sparbuch: Berechnen Sie die langfristige Entwicklung des Kapitals \(K\) eines Sparbuches mit 1,5 Prozent und 200 Euro Einlage in Abhängigkeit der Zeit \(t\).

Lösung

Zum Zeitpunkt der Einlage, zum Zeitpunkt \(t=0\), legen wir 200 Euro auf das Konto. Möchten wir den Betrag um 1,5 Prozent erhöhen, müssen wir ihn mit \((1+\frac{1,5}{100})\) multiplizieren. Im Jahr 1 hat das Konto dann 203 Euro und im Jahr 2 erhalten wir
\begin{align*}
& 203\cdot (1+\frac{1,5}{100})= \\
& =200\cdot (1+\frac{1,5}{100}) \cdot (1+\frac{1,5}{100})=\\
& =200\cdot (1+\frac{1,5}{100})^2=206,045.
\end{align*}

 


Wir erkennen erneut die Exponentialfunktion, nämlich
\begin{align*}
K(t)=200\cdot (1+\frac{1,5}{100})^t=K_0\cdot (1+\frac{p}{100})^t.
\end{align*}
Dabei bezeichnen wir unsere ursprüngliche Einlage als \(K_0\) und mit \(p\) den Zinssatz in Prozent. Von nun an können wir alle möglichen Fragestellungen lösen. "Wann sind am Sparbuch 200 Euro" entspricht der Lösung der Gleichung \(K(t)=200\) und die Frage "Wie viel Geld sind nach 20 Jahren auf dem Sparbuch" lässt sich durch \(K(20)\) lösen. Dieses Beispiel ist aber aus einem anderen Grund sehr lehrreich. Wir betrachten die Basis \(b=1+\frac{1,5}{100}=1,015\). Die Funktion und damit unser Sparbuch wächst offensichtlich (und Gott sei Dank) da \(b>1\) gilt. Wir können aber sogar direkt an der Basis ablesen um wie viel Prozent im Jahr, nämlich um \(1,5\).

Motiviert aus der Lösung zur Sparbuchaufgabe erkennen wir, dass jede Exponentialfunktion
\begin{align*}
&\frac{f(t+1)}{f(t)}=b \\
\Leftrightarrow & f(t+1)=b\cdot f(t)
\end{align*}


erfüllt. Umgangssprachlich ausgedrückt, morgen (Zeitpunkt \(t+1\)) ist die Funktion um das \(b\)-fache größer als heute (Zeitpunkt \(t\)). Eine Exponentialfunktion \(a\cdot 1,15^t\) steigt also pro Zeitintervall um 15 Prozent und die Funktion \(a\cdot 1,015^t\) um 1,5 Prozent. Analog fällt die Funktion \(a\cdot 0,85^t\) um 15 Prozent (\(1-0,15=0,85\)) und \(a\cdot 0,985^t\) um 1,5 Prozent pro Zeitschritt.

Um wie viel Prozent fällt der Anteil an radioaktiven Caesium 137 pro Jahr? Und um wie viel Prozent wachsen die Bakterienpopulationen pro Stunde?

Lösung

Die Funktion \(N(t)=N_0\cdot 0,977^t\) beschreibt den radioaktiven Zerfall. Also fällt unsere Funktion um \(0,023\%\) pro Jahr (denn \(0,977-1=-0,023\)). Die Bakterienpopulationen (für Coli- und Tuberkulosebakterium) haben wir in der Form
\begin{align*}
& N_T(t)=N_0\cdot e^{0,039t}\\
& N_C(t)=N_0\cdot e^{2,097t}\\
\end{align*}
gegeben, es gilt bekanntlich der Zusammenhang \(b=e^\lambda\) und wir erhalten die Funktionen
\begin{align*}
& N_T(t)=N_0\cdot 1,040^t\\
& N_C(t)=N_0\cdot 8,142^t,\\
\end{align*}
die Population der Tuberkulosebakterien wächst also um vier Prozent pro Stunde und die der Colibakterien im selben Zeitraum um 714,2 Prozent.