Inhalt
» Der Funktionsterm und die Definitionsmenge
» Geometrische Analyse
» Steigungswinkel
» Anmerkungen und Spezialfälle
» Geometrische Beispiele und Textaufgaben
» Geraden in der ebenen Vektorrechnung

Wir beginnen mit dem Funktionsterm einer Gerade und einigen kurzen analytischen Überlegungen. Im Anschluss schauen wir uns den geometrischen Zusammenhang zwischen der Funktionsgleichung und dem Graphen der Funktion an. Nach vielen Beispielen betrachten wir noch kurz die Gerade in der ebenen Vektorrechnung um einen Zusammenhang zwischen der Geometrie und der Analysis herzustellen.

Der Funktionsterm und die Definitionsmenge

Eine lineare Funktion ist eine Funktion der Form \(f(x)=k\cdot x+d\). Oft wird zu Beginn der Funktionentheorie in der Schule \(y=k\cdot x+d\) geschrieben. Wir lassen von dieser Schreibweise aus unterschiedlichen Gründen ab und führen dies bei Zeiten aus.

Die lineare Funktion \(f\) hat also die Funktionsgleichung
\begin{align*}
f(x)=k\cdot x+d, \qquad k\in\mathbb{R}\setminus \{ 0\} ,d\in\mathbb{R}.
\end{align*}
Wie jedes Polynom hat auch die lineare Funktion als maximal mögliche Definitionsmenge \(D_f=\mathbb{R}\). Einschränkungen sind wie immer aufgrund des Kontextes möglich.

Ihr Graph ist eine Gerade deren Form durch die Parameter \(k\) und \(d\) beeinflusst werden.

Geometrische Analyse

Wir nennen \(k\) die Steigung der Gerade und \(d\) den \(y\)-Abschnitt. Im Folgenden betrachten wir den Einfluss des einen Parameters, während wir den anderen fixieren.

Zu Beginn geht es um \(f(x)=1\cdot x+d\) und \(d\) durchläuft Werte zwischen -3 und 3 in Schrittweite \(\frac{1}{2}\). Wir möchten eure Aufmerksamkeit auf den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse lenken und haben diesen daher eingezeichnet.

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Wir sehen, dass die Funktion \(f\) die \(y\)-Achse immer an der Stelle \((0;d)\) schneidet, daher der Name \(y\)-Abschnitt. Analytisch liegt das an \(f(0)=k\cdot 0+d=d\), wir erhalten also den Punkt \((0;f(0))=(0;d)\) des Graphen.

Variieren wir nun \(k\) in \(g(x)=k\cdot x+1\) erkennen wir woher der Name Steigung resultiert. Geometrisch sehen wir die Steigung an einem sogenannten Steigungsdreieck, im folgenden für die Werte \(k=1\), \(\frac{1}{2}\) und \(-2\) eingezeichnet.

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Ihr solltet euch erinnern, dass das Steigungsdreieck \(k=\frac{\Delta y}{\Delta x}\) nicht eindeutig ist, gekürzt führt es aber immer zum selben Faktor \(k\). In den meisten Beispielen findet man mindestens ein "schönes" Steigungsdreieck. Bei uns eben waren das \(k_1=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1}{1}\), \(k_2=\frac{1,5}{1}=\frac{3}{2}\) und \(k_3=\frac{-2}{1}=\frac{-4}{2}=-2\). Um das Steigungsdreieck abzulesen oder einzuzeichnen empfiehlt sich die Faustregel "Nenner nach rechts, Zähler nach oben (oder unten)".

Wollt ihr eine Gerade zeichnen und habt Probleme mit dem Steigungsdreieck, denkt daran, eine Gerade ist gegeben durch zwei Punkte! Den ersten wisst ihr bereits mit \((0;d)\) und für den zweiten könnt ihr einfach einen geschickten Wert einsetzen, mehr dazu in den Beispielen.

 Steigungswinkel

Mithilfe des Anstiegs lässt sich der Winkel zwischen der X-Achse und der Funktion berechnen, und umgekehrt. Verbildlicht man sich eine lineare Funktion im Koordinatensystem, so bildet sie mit Parallelen zur X- und Y-Achse ein rechtwinkliges Dreieck. Nun können wir die Formeln für rechtwinklige Dreiecke anwenden. Der Ausschnitt der Funktion bildet die Hypotenuse, die beiden Geraden die Katheten. Für den gesuchten Steigungswinkel lautet die Formel:

\begin{align*}tan(\alpha)=\frac{Gegenkathete}{Ankathete}=Anstieg (m)\end{align*}

Wenn wir das nun umstellen, lässt sich der Steigungswinkel wie folgt berechnen: \(arctan(m)=\alpha\).

Anmerkungen und Spezialfälle

Die Gerade \(x=c\), \(c\in\mathbb{R}\) ist zwar eine Gerade aber keine lineare Funktion, sie ist nämlich überhaupt keine Funktion.

Eine lineare Funktion wird auch Polynom erster Ordnung genannt. Die Gerade \(f(x)=c\), \(c\in\mathbb{R}\) ist geometrisch eine Gerade aber kein Polynom erster Ordnung sondern eine konstante Funktion (der Buchstabe \(c\) ist beliebig gewählt aber motiviert aus dem Englischen, constant). Sie ist ein Spezialfall der Gerade \(f(x)=k\cdot x+d\) mit \(k=0\) und wir erwähnen explizit, wenn auch sie in unseren Aussagen gemeint ist.

Ein wichtiger Begriff bei linearen Funktionen ist die direkte Proportionalität. Diese gilt sofern \(d=0\). Die Gerade kann dann auf die Form \(\frac{y}{x}=k\) gebracht werden. Die Variablen \(x\) und \(y\) stehen dann in direkter Proportionalität zueinander. Ein gängiges Beispiel für die direkte Proportionalität sind die Mengenangaben in einem Kochrezept. Der Handyvertrag (Grundgebühr \(d\) und konstante Kosten \(k\)) stellt ein gutes Gegenbeispiel dar .

Die Gleichung
\begin{align*}
a\cdot x+b\cdot y=c,
\end{align*}
oder, nach \(y\) aufgelöst
\begin{align*}
y=k\cdot x+d
\end{align*}
wird oft als lineare Gleichung mit zwei Unbekannten bezeichnet. Sie stellt automatisch unendlich viele Punkte dar, da das dazugehörige Gleichungssystem (eine Gleichung, zwei Unbekannte) unterbestimmt ist. Visualisieren wir diese unendlich vielen Punkte, dann erhalten wir obigen Graph einer Gerade. Oft führt man, wie in den folgenden Aufgaben, in Kontextaufgaben eine zweite Gleichung ein. Die Lösung der Aufgabe ist dann die Lösung eines linearen Gleichungssystems und geometrisch entspricht dies dem Schnitt zweier Geraden.

Geometrische Beispiele und Textaufgaben

Die Kostenfunktion: Ein Betrieb hat Kosten \(K\) in Abhängigkeit der Anzahl der produzierten Güter \(x\). Diese steigen konstant an. Zudem hat der Betrieb Fixkosten unabhängig von der Güterproduktion (Miete etc.). Produziert er 100 Güter hat er Kosten von 1000 Euro, produziert er 1000 Güter steigen die Kosten auf 5000 Euro. Stellen Sie eine Funktion auf, die diesen Sachverhalt beschreibt.

Lösung

Die Fixkosten entsprechen dem \(d\) unserer Gerade, dem Startwert. Diese sind jedoch nicht explizit gegeben. Wir stellen nun also ein Gleichungssystem auf, indem wir die Punkte in die Geradengleichung einsetzen. Wir haben zwei Unbekannte, \(k\) und \(d\) und zwei Punkte gegeben. Das klappt!
\begin{align*}
&I: & 1000=100k+d\\
&II: & 5000=1000k+d
\end{align*}
Gelöst ergibt das gerundet \(k=4,44\) und \(d=555,56\). Also erhalten wir als Funktion

\begin{align*}
f(x)=4,44x+555,56.
\end{align*}

Eine noch bessere Gleichung wäre übrigens \(k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{5000-1000}{1000-100}\) gewesen, das Steigungsdreieck!

lineare_funktion6.svg

Der fallende Körper: Die Geschwindigkeit eines senkrecht fallenden Körpers ist näherungsweise direkt proportional zur Zeit mit dem Proportionalitätsfaktor \(g=9,81\) (Erdbeschleunigung in \(\frac{m}{s^2}\), jedoch vernachlässigt die Mathematik die Einheiten). Stellen Sie eine Funktion auf, die diesen Sachverhalt erklärt.

Lösung

Sei \(x\) die unabhängige Variable Zeit und \(y\) die dazugehörige Geschwindigkeit. Da \(x\) und \(y\) direkt zueinander proportional sind, gilt
\begin{align*}
\frac{y}{x} & =9,81\\
y & =9,81\cdot x,
\end{align*}
und wir haben ein lineares Modell aufgestellt mit \(k=9,81\) und \(d=0\), letztes das Kennzeichen der direkten Proportionalität. Als Funktion würde man statt \(x\), \(y\) und \(f\) üblicherweise \(v(t)=9,81\cdot t\) wählen, die Bezeichnungen für Geschwindigkeit und Zeit in der Physik.

Der Handyvertrag: Drei verschiedene Verträge für ein Gut werden angeboten. Wir nehmen als Beispiel Handyverträge, aber auch Energieverträge oder ähnliches wären denkbar. Alle haben eine monatliche Grundgebühr und Einzelkosten pro verbrauchter Einheit, wobei wir Datenvolumen in MB, SMS und telefonierte Minuten der Einfachheit halber als verbrauchte Einheiten zusammenfassen (wie es zum Beispiel der My Klax Flex Vertrag in Österreich macht): Vertrag A hat eine monatliche Grundgebühr von 5 Euro, eine verbrauchte Einheit kostet 10 Cent. Vertrag B hat eine monatliche Grundgebühr von 10 Euro. Eine verbrauchte Einheit kostet 5 Cent. Vertrag C hat eine monatliche Grundgebühr von 10 Euro. Eine verbrauchte Einheit kostet 10 Cent, allerdings sind die ersten 30 Einheiten gratis. Analysieren Sie, welcher Vertrag bei wie viel verbrauchten Einheiten \(x\) der günstigste ist.

Lösung

Wir nennen unsere drei Funktionen \(A,B\) und \(C\). Die unabhängige Variable \(x\) ist die Anzahl der verbrauchten Einheiten, die abhängige Variable \(y\) sind die monatlichen Kosten in Abhängigkeit der verbrauchten Einheiten und wir berechnen diese mit \(A(x),B(x)\) und \(C(x)\). Offensichtlich sind die Verträge \(A\) und \(B\) sehr einfach zu beschreiben. Die monatliche Grundgebühr entspricht den Fixkosten einer Kostenfunktion. Dadurch ist \(d_A=5\) und \(d_B=10\) direkt gegeben. Die Kosten pro Geldeinheit sind in unserem Modell konstant, da es linear ist. Bereits bei der Kostenfunktion haben wir motiviert, dass dieser Anstieg also unseren \(k_A=0,1\) und \(k_B=0,05\) entspricht, natürlich müssen wir Cent in Euro umwandeln (oder umgekehrt). Wir erhalten also
\begin{align*}
& A(x)=0,1x+5\\
& B(x)=0,05x+10
\end{align*}
Vertrag C enthält die Schwierigkeit der Gratiseinheiten. Offensichtlich ist die Funktion die ersten 30 Einheiten konstant 10. Zwei naheliegende Möglichkeiten gibt es ab dann. Man berechnet sich zwei Punkte, welche nicht im Gratisbereich liegen. Zum Beispiel hat man bei 40 verbrauchten Einheiten Kosten von 11 Euro (10 Euro Grundgebühr, 10 verbrauchte Einheiten), bei 50 dann 12 Euro. Die zahlen 40 und 50 wurden frei gewählt, natürlich gehen auch andere Werte größer 30. Dadurch erhalten wir die zwei Punkte \((40,11)\) und \((50,12)\) auf der Gerade \(C(x)\) und analog zu zuvor das dazugehörige Gleichungssystem
\begin{align*}
& I: 11=40k_C+d_C\\
& II: 12=50k_C+d_C.
\end{align*}
Als Expert/innen erkennen wir mit einem Blick, dass das System eine Lösung hat und können \(k_C=0,1\) und \(d_C=7\) errechnen. Wir erhalten die abschnittsweise definierte Funktion
\begin{align*}
C(x)=\begin{cases} 0,1x+7 & x>30 \\
10 & x\leq 30\end{cases}
\end{align*}

Zeichnen wir nun die Geraden, erkennen wir, welche Funkion wann die günstigste ist.

lineare_funktion5.svg

Die exakten Werte erhalten wir durch das Lösen der jeweiligen Gleichungssysteme.

Geraden in der ebenen Vektorrechnung

Eine Gerade kann auch durch die Form
\begin{align*}
\vec{X}=\vec{A}+t\cdot\vec{v},\qquad t\in\mathbb{R}
\end{align*}
beschrieben werden. Dabei ist \(\vec{A}\) der sogenannte Aufpunkt und \(\vec{v}\) der Richtungsvektor, welchen man zum Beispiel durch einen zweiten Punkt \(B\) berechnet, \(\vec{v}=\vec{AB}=\vec{B}-\vec{A}\). Weder \(A\) noch \(\vec{v}\) sind dabei eindeutig bestimmt. Die vektorielle Form wird aber tendenziell eher in der Geometrie genutzt und ist dadurch nicht Kernthema dieser Übersicht. Wir betrachten trotzdem als Beispiel die Gerade \(f\) mit \(f(x)=2x-3\).

lineare funktion3lineare funktion3

Deutlich lesen wir den \(y\)-Abschnitt \((0;-3)\) ab und das Steigungsdreieck \(k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2}{1}\). Parallel ist die Gerade aber auch durch
\begin{align*}
\vec{X}=\vec{A}+t\cdot\vec{v}=\binom{2}{1}+t\binom{1}{2},\qquad t\in\mathbb{R}
\end{align*}
gegeben. Eine alternative Darstellung wäre zum Beispiel
\begin{align*}
\vec{X}=\vec{B}+t\cdot\vec{u}=\binom{0}{-3}+t\binom{2}{4},\qquad t\in\mathbb{R}.
\end{align*}