Inhalt
» Vorbemerkung
» Der Funktionsterm und die Definitionsmenge
» Geometrische Analyse
» Die Scheitelform
» Spezialfälle
» Zusammenhänge mit der quadratischen Gleichung
» Beispiele

Vorbemerkung

Die quadratische Funktion ist ein Polynom zweiten Grades. Ihren Graphen nennt man Parabel. Wir verwenden alle drei Begriffe synonym. Eng verknüpft mit der Parabel sind die quadratischen Gleichungen und ihre Lösungsfälle.

Der Funktionsterm und die Definitionsmenge

Die quadratische Funktion \(f\) hat also die Funktionsgleichung
\begin{align*}
f(x)=ax^2+bx+c, \qquad a\in\mathbb{R}\setminus \{ 0\} ,b,c\in\mathbb{R}.
\end{align*}

Wie jedes Polynom hat auch das Polynom zweiten Grades als maximal mögliche Definitionsmenge \(D_f=\mathbb{R}\). Einschränkungen sind wie immer aufgrund des Kontextes möglich.

Geometrische Analyse

Die Parabel ist abhängig von drei Parametern \(a,b,c\). Anders als bei vielen Funktionen, zum Beispiel der Gerade, sieht man den Einfluss der Parameter nicht zu 100 Prozent. Insbesondere \(b\) macht Probleme.

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Wir erkennen jedoch, dass \(c\) entlang der \(y\)-Achse verschiebt und die Parabel immer durch \((0;c)\) geht. Der Parameter \(a\) definiert die Öffnung (oft auch Krümmung genannt). Für \(a>0\) ist die Parabel nach oben geöffnet und mit wachsendem \(a\) wird die Parabel immer steiler. Analog "blickt" sie für \(a<0\) nach unten. Wir nennen dies auch positive und negative Krümmung.

quadratische_funktion2.svg

Jede Parabel hat immer einen Scheitel \(S\). Abhängig von \(a\) handelt es sich um ein globales Maximum oder Minimum. Es wäre nun praktisch, wenn der Parameter \(b\) die Links-Rechtsverschiebung verursacht, nachdem \(c\) nach oben/unten verschiebt. Dem ist leider nicht so, wir sehen, dass \(b\) den Scheitel auf einen Bogen wandern lässt. Im folgenden Abschnitt mehr dazu.

Die Scheitelform

Mit ein wenig Algebra (und der Technik des quadratischen Ergänzens) kann jede quadratische Funktion \(f(x)=ax^2+bx+c\) in die Form \(a(x+\tilde{b})^2+\tilde{c}\) gebracht werden. Dabei sind \(\tilde{b},\tilde{c}\) im allgemeinen von \(b\) und \(c\) verschieden. In dieser Form können wir die folgenden Aussagen treffen.

Ausgehend von der Normalparabel \(g(x)=x^2\) haben die Parameter \(a\), \(\tilde{b}\) und \(\tilde{c}\) die folgenden Auswirkungen

\(a\) streckt oder staucht die Parabel. Es gibt außerdem an, ob die Parabel nach oben oder unten gerichtet ist.
\(\tilde{b}\) verschiebt den Scheitel \(S\) der Parabel um \(\tilde{b}\) nach links \((\tilde{b}>0)\) oder rechts \((\tilde{b}<0)\).
\(\tilde{c}\) verschiebt den Scheitel \(S\) der Parabel um \(\tilde{c}\) nach oben \((\tilde{c}>0)\) oder unten \((\tilde{c}<0)\).
Die \(x\)-Koordinate des Scheitels hat die Koordinaten \(x_S=\frac{-b}{2a}=-\tilde{b}\).

Im letzten Punkt erkennen wir, dass die Position wirklich nicht nur von \(b\) abhängt.

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Spezialfälle

Die Parabel mit \(b=0\) gehört auch zur Familie der Potenzfunktionen.  Sie ist achsensymmetrisch und ihr findet weitere interessante Eigenschaften im dazugehörigen Kapitel.

Zusammenhänge mit der quadratischen Gleichung

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion entsprechen den Nullstellen einer quadratischen Gleichung. Eine quadratische Gleichung kann null, eine oder zwei Lösungen haben. Parallel dazu hat die Parabel null, eine oder zwei Nullstellen.

quadratische_funktion4.svg

Beispiele

Skizzieren Sie die Parabel \(f(x)=-2x^2+4x+16\).

Lösung 1

Möchte man eine grobe Skizze einer Parabel durchführen blickt man zuerst auf \(a\), die Parabel blickt nach unten. Der \(y\)-Abschnitt beträgt \((0;16)\). Die Nullstellen erhalten wir über die große Lösungsformel nämlich \(x_1=4\) und \(x_2=-2\). Die Symmetrie zum Scheitel \(S\) gibt uns als \(x\)-Koordinate dessen \(x_S=\frac{4+(-2)}{2}=1\). Analog hätten wir die Koordinate über \(x_S=\frac{-b}{2a}=\frac{-4}{-4}=1\) erhalten. Die \(y\)-Koordinate folgt aus \(f(1)=18\). Schritt für Schritt wurde unsere Skizze besser. Je nach Notwendigkeit stoppt man früher oder später.

quadratische_funktion6_1.svgquadratische_funktion6_2.svg quadratische_funktion6_21.svgquadratische_funktion6_3.svgquadratische_funktion6_4.svg

Lösung 2

Man kann auch die Scheitelform anwenden.
\begin{align*}
& f(x)=-2x^2+4x+16=\\
& =-2(x^2-2x)+16=\\
& =-2(x^2-2x+1-1)+16=\\
& =-2(x^2-2x+1)+2+16=
& =-2(x-1)^2+18
\end{align*}


und wir können den Scheitel \((1;18)\) und die negative Krümmung mit \(a=-2\) ablesen.

Fliegender Stein

Ein Stein wird vertikal nach oben geworfen. Seine Höhe wird durch die Funktion \(h(t)=-\frac{9,81}{2}t^2+b\cdot t\) in Metern in Abhängigkeit der Zeit \(t\) in Sekunden beschrieben. Nach 6 Sekunden erreicht er den Startpunkt. Berechnen Sie \(b\) und geben Sie an, wann der Stein am höchsten ist.

Lösung

Wir haben einen unbekannten Parameter \(b\) und einen Wert der Funktion. Der Landezeitpunkt nach 6 Sekunden übersetzt sich in die Höhe 0. Also gilt:
\begin{align*}
&1.: & h(6)=0\\
&2.: & -\frac{9,81}{2}6^2+b\cdot 6=0\\
&3.: & b=29,43
\end{align*}


Die Funktion lautet also \(h(t)=-\frac{9,81}{2}t^2+29,43\cdot t\) und hat Scheitel \(t_S=\frac{-29,43}{2\cdot (-9,81)}=3\). Die Höhe des Steins beträgt dann \(h(3)=44,145\) Meter.

quadratische_funktion5.svg

Anmerkungen: Der Wert \(b=29,43\) ist die Geschwindigkeit \(v_0\) mit der der Stein hoch geworfen wird und \(g=-9,81\frac{m}{s^2}\) ist die Gravitationskonstante. Oft werdet ihr daher die Formel \(h(t)=-\frac{g}{2}t^2+v_0\cdot t\) finden. Weshalb aus \(g\) ein \(\frac{-g}{2}\) wird, lernt ihr in der Differentialrechnung. Bitte beachtet auch, die Grafik entspricht nicht der Flugbahn!