Inhalt
» Vorbemerkung
» Formales anhand eines Beispieles
» Übergang zur Wahrscheinlichkeit

Vorbemerkung

Die Wahrscheinlichkeitstheorie wird oft mit der empirischen Häufigkeit eingeleitet. Der Gedankengang ist der folgende: Beobachten wir ein Experiment lang genug, so muss sich die relative Häufigkeit eines Experiments irgendwann an die tatsächliche Wahrscheinlichkeit annähern.

Formales anhand eines Beispieles

Wir beobachten eine Werferin beim Basketball. Beim sogenannten Strafwurf darf man ungestört einen Wurf tätigen. Die Werferin hat in ihrer Karriere von 241 Würfen 211 mal getroffen (und daher 30 mal nicht getroffen). Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit den nächste Wurf zu treffen?

Zunächst definieren wir uns ein Ereignis \(A\) welches wir untersuchen möchten. Dies seien die vergangenen, getroffenen Würfe in 241 Versuchen, also \(A:=\)"Anzahl der getroffenen Würfe". Diese 241 Versuche entsprechen unserer Menge von \(n=241\) Elementen. Mit der absoluten Häufigkeit des Ereignisses \(H_{241}(A)\) bezeichnen wir die 211 Treffer, die relative Häufigkeit \(h_n(A)\) berechnen wir dann ganz anschaulich mit
\begin{align*}
h_n(A)=\frac{H_n(A)}{n}=\frac{211}{241}\approx 0,88.
\end{align*}

Möchten wir nun schätzen ob die Spielerin den nächsten Punktwurf verwandelt so blicken wir auf ihre Statistik in der Vergangenheit. Wir gehen davon aus, dass Sie den nächsten Wurf in 88 Prozent der Fälle trifft.

Übergang zur Wahrscheinlichkeit

Genauer, sei \(P(A)\) die Wahrscheinlichkeit (\(P\)robability) des Ereignisses \(A:=\)"der Punktwurf wird getroffen". Dann nehmen wir als Schätzwert der Wahrscheinlichkeit \(P(A)\) die relative Häufigkeit \(h_n(A)\). Je größer \(n\), je öfter der Versuch wiederholt worden ist, desto besser wird unsere relative Häufigkeit \(h_n(A)\) die Wahrscheinlichkeit \(P(A)\) schätzen.

Natürlich hängt das Treffen des Punktwurfes noch von vielen anderen Faktoren ab, zum Beispiel der Tagesform oder der Nervosität (Spielstand). Langfristig (im Limes) erhoffen wir uns jedoch eine Konvergenz gegen die Wahrscheinlichkeit. Solche Aussagen werden gemeinhin als Gesetze der großen Zahlen (großes \(n\)) zusammengefasst. Wir versuchen den Gedankengang noch einmal an einem weiteren Beispiel zu wiederholen.

Wir betrachten eine faire Münze und werfen diese fünf mal. Ganz intuitiv wissen wir, dass es nicht "50:50" stehen kann. Gehen wir einfach davon aus, dass bereits vier mal Wappen und einmal Kopf geworfen ist. Sei nun das Ereignis \(W:=\)"ein Wappen wird geworfen". Aufgrund des niedrigen \(n\) ist \(h_5(W)=\frac{1}{5}\) noch kein guter Schätzer für die Wahrscheinlichkeit \(P(W)\). Wir gehen aber davon aus, dass
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty} h_n(W)=P(W)=\frac{1}{2}
\end{align*}
eintreten wird.