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» Einführung
» Anwendungen
» Abstände

Einführung

Möchte man die Lage von Punkten bestimmen, bieten sich die kartesischen Koordinatensysteme an. Mithilfe des zweidimensionalen Koordinatensystems stellt man Punkte auf einer Ebene dar und mit dem dreidimensionalen Punkte im Raum. Die Verwendung von ‘kartesisch’ weist darauf hin, dass die Achsen senkrecht aufeinander stehen. Im Schnittpunkt der Achsen befindet sich der sogenannte Ursprung oder auch Nullpunkt genannt. Von dort aus gehen die Achsen nach “oben” und “rechts” (im dreidimensionalen Fall auch nach “hinten”) ins Positive und zur jeweils anderen Seite ins Negative.

Die Achsen werden in der Regel mit \(X\), \(Y\) und \(Z\) beschriftet, es könnte aber sein, dass ihr sie in eurer Schule in einer anderen Reihenfolge beschriftet als im Bild.

Koordinatensystem1.svg    Koordinatensystem1.svg

Um die Position eines Punktes P zu beschreiben, verwendet man die Koordinatendarstellung \(P(x|y)\), der erste Eintrag gibt den Wert auf der X-Achse wieder, der zweite den von der Y-Achse. Im dreidimensionalen Fall folgt zusätzlich noch der Wert auf der Z-Achse. In den oberen Bildern wäre es daher \(P(5|-2)\) bzw. \(P(2|-3|2)\). Die X-Koordinate von P wird Abszisse genannt, die Y-Koordinate Ordinate, gebräuchlich spricht man allerdings vom X-Wert bzw. Y-Wert.

Nehmen wir an, die genaue Lage unseres Punktes ist nicht wichtig, sondern nur in welchem Bereich er liegt. Dafür wurden Quadranten eingeführt. Das zweidimensionale Koordinatensystem ist durch die X- und Y-Achse  und vier Bereiche aufgeteilt. Diese werden gegen den Uhrzeigersinn mit den römischen Ziffer I, II, III und IV gekennzeichnet, wobei man rechts oben beginnt. Nun kann man zusätzlich zur genauen Position des Punktes P den Quadranten nennen.

Koordinatensystem2.svg

Anwendungen

In einem Koordinatensystem kann man vieles bildlich darstellen. Indem man einzelne Punkte miteinander verbindet, lassen sich Strecken, Flächen (bzw. Körper im dreidimensionalen Fall) oder auch Funktionen darstellen. Im letzteren Fall bedeutet es, man kann grafisch darstellen, wie sich zwei Variablen zueinander verhalten.

Dafür eignet sich ein Beispiel aus dem Alltag. Schauen wir uns die Anfahrt eines Autos an und messen mit einer Radarpistole die Geschwindigkeit, so können wir in unserem Koordinatensystem festhalten, in welcher Zeit (X-Achse) welche Geschwindigkeit (Y-Achse) erreicht wurde.

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Abstände

Stellt man Strecken in einem Koordinatensystem dar, so kann man sehr leicht deren Länge und auch Steigung mithilfe der Punktkoordinaten berechnen. Bei der Längenberechnung unterscheidet man zwischen zwei Fällen: Die Strecke ist parallel zu einer der Achsen oder nicht.

Koordinatensystem4

Wie man erkennen kann, ist eine Strecke AB parallel zur Y-Achse, wenn beide Punkte den gleichen X-Wert haben. In diesem Fall wäre es \(A(2|4)\) und \(B(2|1)\).  Nun muss man einfach den kleineren Y-Wert von größeren Y-Wert abziehen. Unsere Länge wäre also \(4-1=3\). Für die Parallelität mit der X-Achse muss der Y-Wert übereinstimmen. Auch dort wird die Länge ähnlich berechnet.

Angenommen die Strecke liegt beliebig und ist nicht parallel zu den Achsen. Im unteren Bild können wir erkennen, dass die Strecke zusammen mit den Geraden \(x=6\) und \(y=2\) ein rechteckiges Dreieck bildet, da ja die Achsen senkrecht aufeinander stehen. Mit dem Satz des Pythagoras können wir nun die Länge der Strecke \(\overline{EF}\) berechnen. Dafür müssen wir lediglich die Längen von \(\overline{EP}\) und \(\overline{PF}\) herausfinden. Diese sind parallel zu den Achsen und können daher mit der gerade kennengelernten Methode berechnet werden. Dadurch erhalten wir nun:

\begin{align*}\vert\overline{CD}\vert = \sqrt[2]{\vert\overline{EP}\vert^{2}+\vert\overline{PF}\vert^{2}}=\sqrt[2]{4^{2}+3^{2}}=5\end{align*}

Koordinatensystem5.svg