Inhalt
» Voraussetzungen
» Erster Strahlensatz
» Zweiter Strahlensatz
» Anmerkung
» Anwendung

Mit den Strahlensätzen ist es uns möglich, die Länge von Strecken zu bestimmen, die in einer Relation zu uns bereits bekannten Strecken liegen. Im Folgenden gehen wir hauptsächlich auf die Anwendung ein. Denn oft ist das Problem nicht das eigentliche Lösen der Aufgabe, sondern das Erkennen, dass man einen Strahlensatz anwenden darf/soll/muss.

Bevor wir allerdings typische Aufgabentypen durchgehen, stellt sich erst einmal die Frage: Was genau sind Strahlensätze überhaupt? Es sind Aussagen, wie sich bestimmte Strecken zueinander verhalten. Insgesamt gibt es vier Formeln und zwei verschiedene Anordnungen von Geraden:

Strahlen1.svgVoraussetzungen

Um die Strahlensätze anwenden zu können, müssen die Geraden folgende Eigenschaften aufweisen:

Es gibt zwei Geraden \(f\) und \(g\), die sich mit einem beliebigen Winkel schneiden. Den Schnittpunkt nennen wir \(S\). Beide Geraden werden von zwei Parallelen geschnitten, allerdings darf keine davon durch \(S\) verlaufen. Die Parallelität ist dabei eine wichtige Voraussetzung! Es macht allerdings keinen Unterschied, ob die Parallelen beide auf einer Seite ist auf der jeweils gegenüberliegenden Seite. Daher betrachten wir auch nur eine der beiden Formen.

Erster Strahlensatz

Man unterscheidet in der Mathematik zwischen dem ersten und dem zweiten Strahlensatz. Schauen wir uns zunächst folgende zwei Abbildungen an. Überlegt euch, wie die einzelnen Längen zwischen den Punkten zueinander stehen könnten.

Strahlen2.svg

Die Länge einer Strecke wird hier mit Betragstrichen \(\vert...\vert\) angegeben.

\begin{align}\dfrac{\vert\overline{SA_{1}}\vert}{\vert\overline{SA_{2}}\vert}&=\dfrac{\vert\overline{SB_{1}}\vert}{\vert\overline{SB_{2}}\vert}\\
\dfrac{\vert\overline{SA_{1}}\vert}{\vert\overline{A_{1}A_{2}}\vert}&=\dfrac{\vert\overline{SB_{1}}\vert}{\vert\overline{B_{1}B_{2}}\vert}\\
\dfrac{\vert\overline{SA_{2}}\vert}{\vert\overline{A_{1}A_{2}}\vert}&=\dfrac{\vert\overline{SB_{2}}\vert}{\vert\overline{B_{1}B_{2}}\vert} \\ \end{align}

 

 

Schauen wir uns das nun an einem Beispiel mal an: Die Länge der Strecke \(\vert\overline{SA_{1}}\vert\) beträgt \(3 cm\) und die Entfernung von unserem Punkt \(S\) zu \(A_{2}\) ist \(5 cm\) sowie zu \(B_{1}\) mit \(4 cm\). Wie lang ist nun die Strecke \(\vert\overline{SB_{2}}\vert\)?

Lösung

Gegeben haben wir die Werte
\(\vert\overline{SA_{1}}\vert = 3 cm\), \(\vert\overline{SA_{2}}\vert = 5 cm\), \(\vert\overline{SB_{1}}\vert = 4 cm\)

Nun müssen wir es lediglich in unsere Formel einsetzen und dann nach unser gesuchten Länge umstellen.

\begin{align*}\dfrac{\vert\overline{SA_{1}}\vert}{\vert\overline{SA_{2}}\vert}=\dfrac{\vert\overline{SB_{1}}\vert}{\vert\overline{SB_{2}}\vert}\\
\dfrac{3}{5}=\dfrac{4}{\vert\overline{SB_{2}}\vert}\\
\vert\overline{SB_{2}}\vert=\dfrac{5\cdot4}{3}=6,67\end{align*}

Zweiter Strahlensatz

Nun fehlen uns noch Informationen zu den Längenverhältnissen von \(\overline{A_{1}B_{1}}\) und \(\overline{A_{2}B_{2}}\). Das liefert uns der zweite Strahlensatz.

 

Strahlen2.svg

 

\begin{align}\dfrac{\vert\overline{A_{1}B_{1}}\vert}{\vert\overline{A_{2}B_{2}}\vert}=\dfrac{\vert\overline{SA_{1}}\vert}{\vert\overline{SA_{2}}\vert}\\\dfrac{\vert\overline{A_{1}B_{1}}\vert}{\vert\overline{A_{2}B_{2}}\vert}=\dfrac{\vert\overline{SB_{1}}\vert}{\vert\overline{SB_{2}}\vert}\end{align}

Anmerkung

Man kann die Aussage des ersten Strahlensatzes auch umkehren. Dann würde sie lauten:

Wenn \(\dfrac{\vert\overline{SA_{1}}\vert}{\vert\overline{SA_{2}}\vert}=\dfrac{\vert\overline{SB_{1}}\vert}{\vert\overline{SB_{2}}\vert}\) gilt, dann sind \(\overline{A_{1}B_{1}}\) und \(\overline{B_{2}A_{2}}\) parallel.

Das ist wahre Aussage, sie gilt also immer. Dies schauen wir uns an einem Beispiel an. Dafür zeichnen wir uns einen Strahl mit den Punkten \(S\), \(A_{1}\) und \(A_{2}\). Zeichnen wir einen weiteren Strahl durch \(S\), müssen wir die nächsten Punkte nach dem Teilungsverhältnis wählen.

Strahlen2.svg

Als Beispiel nehmen wir die Werte \(\vert\overline{SA_{1}}\vert=2cm\) und \(\vert\overline{SA_{2}}\vert=6cm\). Dann müssten die Abstände der neuen Punkte wie folgt sein: \(\vert\overline{SB_{1}}\vert=3cm\) und \(\vert\overline{SB_{2}}\vert=9cm\). Damit erhalten wir jeweils
\begin{align*}\dfrac{\vert\overline{SA_{1}}\vert}{\vert\overline{SA_{2}}\vert}=\dfrac{1}{3}, \dfrac{\vert\overline{SB_{1}}\vert}{\vert\overline{SB_{2}}\vert}\end{align*}

 

Strahlen2.svg

 

Verbinden wir die beiden Punkte, sehen wir, dass die Strecken \(\overline{A_{1}B_{2}}\) und \(\overline{A_{1}B_{2}}\) parallel. 

Anwendung

Um die vielfachen Anwendungsmöglichkeiten dieser Strahlensätze zu verdeutlichen, versuchen wir nun ein mögliches Problem aus dem Alltag zu lösen. Auf einem ebenen Feld steht ein sehr hoher Turm. Aus der Entfernung blickst du auf die Spitze dieses Turmes und möchtest seine Höhe in Erfahrung bringen. Verdeutlichen wir uns das in einer Skizze:

strahlen3neu

Bekannt seien die folgenden Längen:\(a=2\), \(b=3\), \(t=20\). Wie können wir nun die Höhe des Turmes ermitteln?

Lösung

Vergleicht die Skizze mit den Strahlensatz und versucht die Verhältnisse zu übertragen.

 

Strahlen2.svg

 

Unsere Strecke \(a\) entspricht \(\vert\overline{A_{1}B_{1}}\vert\),\(b\) entspricht \(\vert\overline{SA_{1}}\vert\),\(t\) entspricht \(\vert\overline{SA_{2}}\vert\),und \(h\) entspricht \(\vert\overline{A_{2}B_{2}}\vert\).Jetzt setzen wir unsere gegebenen Größen in die Formel ein:\begin{align}\dfrac{\vert\overline{A_{1}B_{1}}\vert}{\vert\overline{A_{2}B_{2}}\vert}=\dfrac{\vert\overline{SA_{1}}\vert}{\vert\overline{SA_{2}}\vert}\\\dfrac{2}{h}=\dfrac{3}{20}\end{align}

 

Das müssen wir nun nach \(h\) umstellen und erhalten, dass der Turm eine Höhe von \(13,33m\) hat.