Inhalt
» Geraden
» Strecken
» Konstruktion verschiedener Lagen
» Anmerkungen

Geraden und Strecken gehören zu den Grundlagen der Geometrie. Sie bilden die Bausteine, mit denen man sämtliche Flächen und Körper konstruieren kann.

Geraden

Wie der Name schon sagt, ist eine Gerade eine gerade Linie, die zu beiden Seiten ins Unendliche reicht. Um eine Gerade zu konstruieren, legt man sich zwei Punkte fest und zieht z.B. mit dem Geodreieck eine Linie dadurch. Mit zwei Punkten ist eine Gerade auch eindeutig definiert, denn die Position und die Richtung wird damit eindeutig festgelegt.

Wenn man die Gerade in ein Koordinatensystem zeichnet, kann man diese durch eine Geradengleichung \(y=m⋅x+t\) beschreiben. Die Variablen \(m\) für den Anstieg und \(t\) für die Verschiebung auf der Y-Achse definieren die Gerade. Setzt man dann einen X-Wert in diese Gleichung ein, erhält man den dazugehörigen Y-Wert von einem Punkt, der auf dieser Gerade liegt. Daher werden lineare Funktionen auch Geraden genannt.

Strecken

Eine Strecke unterscheidet sich nur in dem Sinne von einer Geraden, dass sie durch zwei Punkte begrenzt ist. Der Name ‘Strecke’ leitet sich also davon ab, dass es einen geraden Weg von Punkt \(A\) zu Punkt \(B\) gibt, geschrieben wird es dann als \(\overline{AB}\). Mithilfe eines Koordinatensystems kann man dann rechnerisch die Länge der Strecke bestimmen oder man legt sein Geodreieck an die Strecke und liest die Länge ab. Wird eine Gerade nur durch einen Punkt begrenzt und geht zur anderen Richtung ins Unendliche, so spricht man von einer Halbgeraden.

Konstruktion verschiedener Lagen

Mehrere Geraden sowie Strecken können in bestimmten Positionen und Ausrichtungen zueinander verlaufen. Im Folgenden werden wir uns immer auf Geraden beziehen, auf gleiche Weise funktioniert es aber mit Strecken auch. Sollte bei Konstruktionen die Strecke zu kurz sein, so kann man sie mit Bleistift und Lineal erweitern, solange die Punkte weiterhin die Endpunkte der Strecke markieren.

Der erste Fall, den wir uns anschauen wollen, handelt von der Orthogonalität. Zwei Geraden sind orthogonal oder auch senkrecht zueinander, wenn sie sich in einem Winkel von \(90°\) schneiden.
Um eine senkrechte Gerade zu zeichnen, gibt verschiedene Möglichkeiten. Wenn man ein Geodreieck zur Hand hat, kann man die Mittelsenkrechte auf die erste Gerade legen und entlang der langen Seite des Geodreiecks die zweite Linie zeichnen.

Geraden2

Möchte man die Senkrechte selbst konstruieren, braucht man einen Zirkel. Man setzt den Zirkel auf die Gerade an einer Stelle, durch die die zweite Gerade hindurch gehen soll. Der Radius kann dabei beliebig gewählt werden. Nun wählt man einen größeren Radius und zieht zwei weitere Kreise, die Mittelpunkte dafür sind die Schnittstellen mit dem vorherigen Kreis und der Geraden. Die beiden neuen Kreise sollten sich in zwei Punkten schneiden. Diese werden jetzt verwendet, um die zweite Gerade zu zeichnen.

Geraden1

Eine weitere Möglichkeit ist, dass sich zwei Geraden niemals berühren werden, sie sind dann parallel zueinander. Das heißt, an jeder Position haben sie den gleichen Abstand zueinander. Folglich haben sie auch die gleichen senkrechten Geraden, was uns bei der Konstruktion zur Hilfe kommen wird.

Zunächst beschreiben wir wieder die leichtere Konstruktion mithilfe eines Geodreiecks. Auf diesem sind mehrere Parallelen zu sehen. Die, mit dem gewünschten Abstand, wird auf die Gerade gelegt und dann kann man die neue Gerade zeichnen.

Geraden2

Nutzt man die Eigenschaft mit den gleichen Senkrechten aus, dann kann man wie folgt vorgehen:
Man zeichnet zur ersten Geraden eine beliebige Senkrechte. Auf dieser trägt man den gewünschten Abstand ab. Auf der neu gezeichneten Gerade kann man nun die zweite Senkrechte zeichnen und erhält eine zur ersten Gerade parallel liegende Gerade.

Geraden2

Auch hier gibt es wieder die Möglichkeit es ohne Geodreieck und mit Zirkel zu konstruieren. Dafür markiert man sich neben der Geraden einen Punkt, durch den die Parallele gehen soll. Dann zieht man um diesen Punkt einen Kreis, so dass die Gerade zweimal geschnitten wird. Wichtig ist diesmal, dass der Radius immer der gleiche bleibt. Bei einer Schnittstelle mit der Geraden zeichnet man nun den nächsten Kreis. Durch den nächsten Schnittpunkt mit der Geraden zieht man einen weiteren Kreis. Der letzte Kreis schneidet den ersten Kreis einmal auf der Geraden und ein weiteres Mal daneben. Die zweite Gerade wird dann durch diesen Punkt und dem am Anfang gewählten Punkt gezogen.

Geraden5

Anmerkungen 

Zwei Geraden können sich maximal einmal schneiden. Im Dreidimensionalen gibt es neben der Parallelität und Orthogonalität noch eine weitere Eigenschaft, nämlich wenn nichts zutrifft und sie sich auch nicht schneiden. Dann werden sie windschief genannt.

Geraden6