Inhalt:
» Arten von Winkeln
» Bezeichnungen
» Bogenmaß
» Winkelhalbierende
» Konstruktion von Winkeln

Schneiden sich zwei Geraden (bzw. Strecken), so kann man die Neigung mit der sie aufeinander treffen durch einen Winkel ausdrücken. Der Schnittpunkt der beiden geraden wird Scheitelpunkt genannt, meistens mit \(S\) gekennzeichnet und die Geraden bilden dann die Schenkel des Winkels.

Haben wir nun wie im Bild zwei Strecken \(\overline{AS}\) und \(\overline{SC}\) mit unserem Winkel beim Scheitelpunkt \(S\), dann bezeichnen wir diesen Winkel als ∠\(ASC\). Wir gehen dafür lediglich die Punkte entlang und der Winkel befindet sich dann entgegen des Uhrzeigersinns. Das Gegenstück zu diesen Winkel nennt man dann Gegenwinkel.

Winkel1

Arten von Winkeln

Geraden können mit einer unterschiedlichen Neigung aufeinander treffen. Daher wird ein Winkel mit einer Gradzahl angegeben. Insgesamt stehen einem 360° zur Verfügung, das ist eine komplette Umdrehung.

Winkel1

Je nachdem wie viel Grad der Winkel hat, kann man sie daher unterscheiden. Ein Nullwinkel hat, wie der Name bereits vermuten lässt, 0°. Beide Geraden liegen demnach aufeinander. Im Folgenden seht ihr eine Übersicht über die Arten der Winkel

 

Winkel3_1 Winkel3_2 Winkel3_3
0° bis 90°
Spitzer Winkel

Exakt 90°
Rechter Winkel

90° bis 180°
Stumpfer Winkel
Winkel3_4 Winkel3_5 Winkel3_6
Exakt 180°
Gestreckter Winkel
180° bis 360°
überstumpfer Winkel
Exakt 360°
Vollwinkel

 

Sämtliche Rechenoperationen funktionieren auch ohne Probleme mit Winkeln. Hat man beispielsweise zwei Winkel \(\alpha=35°\) und \(\beta=25°\), so erhalten wir \(\alpha + \beta=35°+25°=60°\)

Bezeichnungen

Wenn Geraden sich schneiden, entsteht mehr als nur ein Winkel. Hier seht ihr, wie man Winkel, die in einer bestimmten Beziehung zueinander stehen, bezeichnet.

Scheitelwinkel:
Schneiden sich zwei (oder mehrere) Geraden, so dass mehrere Winkel entstehen, dann bilden die einander gegenüber liegenden Winkel ein Paar und der Winkel wird als Scheitelwinkel bezeichnet. Diese Paare sind immer gleich groß. Im Bild kann man deutlich sehen, dass \(\alpha\) und \(\gamma\) sowie \(\beta\) und \(\omega\) jeweils gleich groß und Scheitelwinkel sind.

Winkel4

Nebenwinkel:
Wie der Name schon sagt, bezeichnet ein Nebenwinkel zwei nebeneinander liegende Winkel. Im vorigen Bild wären dann \(\alpha\) und \(\beta\) sowie \(\gamma\) und \(\omega\) Nebenwinkel. In unserem Fall, wo sich nur zwei Geraden schneiden, ergänzen sich die Nebenwinkel zu 180°. Dies wird auch als Supplementwinkel bezeichnet. Sollten sich mehr als zwei Geraden schneiden, so wird die Summe von einem Nebenwinkelpaar geringer. Ergibt die Summe 90°, so nennt man sie Komplementwinkel.

Winkel5

Stufenwinkel:
Voraussetzung hierfür ist, dass wir zwei parallele Geraden haben, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden. Dann haben die so entstandenen Winkel an den Schnittpunkten jeweils die gleiche Größe. Die jeweiligen Paare werden dann Stufenwinkel genannt.

Winkel6

Wechselwinkel:
Nehmen wir einen Stufenwinkel als Ausgangspunkt. Wenn wir nun von einem Winkel den Scheitelwinkel nehmen, so haben die Winkel immer noch die gleiche Größe. Diese Winkelbeziehung wird Wechselwinkel genannt.

Winkel7

Wenn wir uns Winkel bei Flächen anschauen, dann gibt es zwei wichtige Begriffe, die man sich merken sollte.

Winkel8

Innenwinkel:
Dieser Winkel wird von zwei Seiten der Figur eingeschlossen und liegt innerhalb der Fläche. Wenn man sämtliche Innenwinkel einer Figur addiert, erkennt man, dass es nach einem Muster verläuft. So ist die Innenwinkelsumme eines Vierecks immer \(360°\) und eines Dreiecks \(180°\). Die allgemeine Formel für die Innenwinkelsumme eines zweidimensionalen n-Ecks, wobei \(n\) für die Anzahl von Ecken steht, lautet:\begin{align*}(n-2)\cdot 180\end{align*}

Außenwinkel:
In diesem Fall liegt der Winkel außerhalb der Fläche. Man könnte auch sagen, es ist der Nebenwinkel vom Innenwinkel.

Bogenmaß

In der Geometrie misst man Winkel für gewöhnlich mit dem Gradmaß. Oftmals kann dies zum Rechnen auch unpraktisch werden. Daher wurde das Bogenmaß eingeführt. Wie der Begriff schon sagt, beruht das Maß auf einen Bogen. Um genauer zu sein, der Bogen in einem Einheitskreis. Wenn wir uns das nächste Bild anschauen, erkennen wir, dass jeder Winkel eine unterschiedliche Bogenlänge bestimmt.

Winkel9

Demnach können wir jeden Winkel \(\alpha\) auch mit der zugehörigen Bogenlänge beschreiben. In unserem Abschnitt über Kreise kannst du nochmal genauer nachlesen, wie sich die folgende Formel ergibt. Die Länge eines Kreisbogens \(b\) mithilfe des Winkels \(\alpha\) ergibt sich in unserem Einheitskreis (Radius \(r=1\)) wie folgt:

\begin{align*}b=\frac{\alpha\cdot2\pi }{360°}=\frac{\alpha\cdot\pi }{180°}\end{align*}

Die Zahl \(\pi\approx3.14\) spielt im Zusammenhang mit dem Kreis eine sehr wichtige Rolle. So hat der Einheitskreis einen Umfang von \(\approx6,3\) oder genauer ausgedrückt \(2\pi\). Wenn wir also einen Winkel \(\beta=90°\) in Bogenmaß ausdrücken wollen, so können wir sagen, es ist \(\frac{\pi}{2}\) rad. Der Radiant (rad) ist die Einheit des Bogenmaßes, dieser kann aber auch vernachlässigt werden. Hier sehen wir nochmal eine kurze Übersicht zu den wichtigsten Umrechnungen:

Grad 90° 180° 270° 360°
Rad \(\frac{\pi}{2}\) \(\pi\) \(\frac{3\pi}{2}\) \(2\pi\)
Winkelhalbierende

Die Winkelhalbierende ist eine Gerade, die den Winkel halbiert. Sie verläuft dabei durch den Scheitelpunkt.

Winkel10

Man kann ebenfalls erkennen, dass die Winkelhalbierenden bei dem Schnitt von zwei Geraden zueinander orthogonal sind.

Wie konstruiert man die Winkelhalbierende zu einem Winkel? Dafür brauchen wir einen Zirkel und ein Lineal. Hier haben wir eine kurze Anleitung:

  1. Wir nehmen den Scheitelpunkt des Winkel als Mittelpunkt und zeichnen einen Kreis mit beliebigem Radius, so dass es zwei Schnittpunkte mit den Schenkeln gibt.
  2. An diesen Schnittstellen werden erneut Kreise gezogen. Diesmal kann ein anderer Radius gewählt werden. Wichtig ist, dass an beiden Schnittstellen der gleiche Radius verwendet wird, der groß genug ist, damit sich beide Kreise schneiden.
  3. Nun muss nur noch die Winkelhalbierende durch den Scheitelpunktes des Winkels und den Schnittpunkt beider Kreise gezogen werden.

Winkel11Winkel11_2Winkel11_3Winkel11_4

Konstruktion von Winkeln

Um Winkel mit einer bestimmten Größe zu zeichnen oder die Größe eines Winkels abzulesen, benötigt man ein Geodreieck. Man geht dabei wie folgt vor:

  1. Das Geodreieck wird mit der langen Seite an die Gerade angelegt. Die Fläche des Geodreiecks sollte dabei auf der Seite mit dem Winkel sein.
  2. Die Mitte des geodreiecks ist gekennzeichnet mit einer Null, diese Markierung muss auf dem Scheitelpunkt liegen.
  3. Auf den anderen Seiten des Geodreiecks sieht man Man in Zehnerschritten (manchmal auch Fünf- oder Zwanzig-). Diese geben die Größe des Winkels an.
  4. Um einen Winkel zu zeichnen muss dann einfach nur bei der gewünschten Größe ein Kreuz gesetzt werden und Scheitelpunkt mit diesem Kreuz danach verbunden werden.

Winkel12