Inhalt:
» sin(x), cos(x) und tan(x) im rechtwinkligen Dreieck
» Beziehungen trigonometrischer Funktionen
» Sinussatz
» Kosinussatz

Auf die Winkelfunktionen Sinus (\(sin(x)\)), Kosinus (\(cos(x)\)) und Tangens (\(tan(x)\)) werdet ihr in vielen mathematischen Bereichen sehr häufig treffen. Es handelt sich um die wichtigsten trigonometrischen Funktionen. Wir schauen uns in diesem Artikel die geometrischen Aussagen an, die sich auf rechtwinklige Dreiecke beziehen.

sin(x), cos(x) und tan(x) im rechtwinkligen Dreieck

Mithilfe dieser Funktionen können wir das Seitenlängenverhältnis in einem rechtwinkligen Dreieck in Abhängigkeit von einem der Winkel beschreiben. Es darf allerdings nicht der rechte Winkel genommen werden. Die Seiten eines Dreiecks haben wir bereits definiert. Die Formeln sind demnach wie folgt definiert:

\begin{align}
&sin(\alpha)&=&&\dfrac{Gegenkathete}{Hypotenuse}\\
&cos(\alpha)&=&&\dfrac{Ankathete}{Hypotenuse}\\
&tan(\alpha)&=&&\dfrac{Gegenkathete}{Ankathete} \\
\end{align}

Dreieck14

Ist also einer der spitzen Winkel gegeben und eine Dreiecksseite, so kann man die restlichen Seiten bestimmen, indem man die obigen Formeln umstellt. Aufgrund der Innenwinkelsumme, lässt sich zudem der zweite spitze Winkel leicht ermitteln.
In den folgenden Bildern könnt ihr sehen, wie man durch umstellen und einer gegebenen Seite die restlichen berechnen kann.

Sinus1_2 Sinus1_1 Sinus1_1

Veranschaulichen wir uns das nochmals an einem konkreten Beispiel: Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck. Ein Winkel hat die Größe \(\alpha=40°\), die dazugehörige Ankathete hat die Länge \(A=4cm\). Wie berechnen wir nun die beiden verbliebenen Seiten?

Lösung

Zunächst zeichnen wir uns ein Dreieck und beschriften die gesuchten sowie die gegebenen Größen.

Sinus2

Nun suchen wir uns eine Formel, in der die Ankathete sowie die Hypotenuse vorkommt, das wäre \(cos(x)\). Dann lässt sich die Hyptenuse mit

\(H=\dfrac{A}{cos(\alpha)}=\dfrac{4cm}{cos(40°)}=5,22cm\)

berechnen. Da uns nun lediglich die Gegenkathete fehlt, können wir uns aussuchen, ob wir sie mithilfe der Ankathete oder Hypotenuse berechnen wollen. Entscheiden wir uns für die Ankathete, dann bekommen wir durch

\(G=tan(\alpha)\cdot A=tan(40°)\cdot 4cm=3,36cm\)

die Länge der Gegenkathete.

Beziehungen trigonometrischer Funktionen

Wenn wir uns die Formeln genauer anschauen, lässt sich erkennen, dass Sinus, Kosinus und Tangens in bestimmten Beziehungen zueinander stehen. Dafür zeichnen wir uns zunächst wieder ein rechtwinkliges Dreieck und beschriften es. Wenn eines der spitzen Winkel als \(\alpha\) bezeichnen wird, so können wir den verbleibenden Winkel als \(90°-\alpha\) beschriften aufgrund der Innenwinkelsumme.

Sinus3

Wenden wir Sinus und Kosinus an, so erhalten wir
\begin{align*} sin(90°-\alpha)=\dfrac{Gegenkathete}{Hypotenuse}=\dfrac{b}{c} \\
cos(\alpha)=\dfrac{Ankathete}{Hypotenuse}=\dfrac{b}{c} \end{align*}


Diese beiden Gleichungen können wir nun gleichsetzen und erhalten
\begin{align*}sin(90°-\alpha)=cos(\alpha)\end{align*}
Damit lassen sich die anderen Gleichungen auf gleiche Weise erklären. Es gelten also auch diese beiden Formeln:
\begin{align*}cos(90°-\alpha)=sin(\alpha) \\
tan(90°-\alpha)=\dfrac{1}{tan(\alpha)}\end{align*}
Diese Beziehungen nennt man Komplementbeziehungen. Es gibt allerdings auch noch die Supplementbeziehungen. Diese sind leicht zu erkennen, wenn wir uns die Funktionen in einem Koordinatensystem anschauen.

Sinus4

 

Sinus Kosinus Tangens
sin(180°+α)=−sin(α) cos(180°+α)=−cos(α) tan(180°+α)=tan(α)
sin(180°−α)=sin(α) cos(180°−α)=−cos(α) tan(180°−α)=−tan(α)
sin(360°−α)=−sin(α) cos(360°−α)=cos(α) tan(360°−α)=−tan(α)

 

Sinussatz

Der Sinus- und Kosinussatz, auf den wir danach eingehen werden, spiegeln Beziehungen zwischen Seitenlängen und Winkeln in beliebigen Dreiecken wider. Grundlage dafür bilden die Formeln, die wir gerade kennengelernt haben.

Sinus5

Im oberen Bild sehen wir, dass die gezeichnete Höhe \(h_{c}\) das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke zerteilt.Nun können wir den Sinus auf beiden Dreiecken anwenden und erhalten:
\begin{align*}
sin(\alpha)=\dfrac{h_{c}}{b} \\
sin(\beta)=\dfrac{h_{c}}{a} \\
\end{align*}

 

Stellen wir nun beide Gleichungen nach \(h_{c}\) um, so können wir sie gleichsetzen.
\begin{align*}
h_{c}=b\cdot sin(\alpha)\\
h_{c}=a\cdot cos(\beta) \\
a\cdot sin(\beta)=b\cdot sin(\alpha) \\
\dfrac{a}{sin(\alpha)}=\dfrac{b}{sin(\beta)} \\ \end{align*}

 

Der Sinussatz sagt somit aus, dass das Verhältnis zwischen einem Winkel und der gegenüberliegenden Seite gleich dem Verhältnis des anderen Winkels und der gegenüberliegenden Seite ist. Da sich die Herleitung auf jeder Seite des Dreiecks gleich verhält, können wir also zusammenfassend sagen, dass
\begin{align*}\dfrac{a}{sin(\alpha)}=\dfrac{b}{sin(\beta)}=\dfrac{c}{sin(\gamma)} \end{align*}
gilt. Schauen wir uns dazu am besten ein kurzes Beispiel an. Gegeben seien die Seiten mit den Längen \(a=3cm\), \(b=4cm\) und der Winkel \(\alpha=30°\). Nun wollen wir den Winkel \(\beta\) bestimmen.

Lösung

Wir müssen die folgenden Größen lediglich in die Formel einsetzen. Man sollte sich aber immer vergewissern, dass Winkel und die jeweilige Seite sich wirklich gegenüber liegen, da sonst die Aussage falsch wäre.

\begin{align*}
&&\frac{a}{sin(\alpha)}&=&&\frac{b}{sin(\beta)}\\
&\Longleftrightarrow&sin(\beta)&=&&\frac{b}{a} \cdot sin(\alpha)\\
&\Longleftrightarrow&sin(\beta)&=&&\frac{4}{3} \cdot sin(30°)\\
&\Longleftrightarrow&sin(\beta)&=&&0,6667\\
&\Longleftrightarrow&\beta&=&&arcsin(0,6667)=41,81°
\end{align*}

 

Kosinussatz

Anders als beim  Sinussatz, drückt der Kosinussatz eine Beziehung zwischen den drei Seiten und einem Winkel im Dreieck aus. Grundüberlegung hier ist wieder die Zerlegung in zwei rechtwinklige Dreiecke.

Sinus5

Nun benötigen wir den Satz des Pythagoras. Betrachten wir das Dreieck \(\triangle BCD\), gilt für deren Hypotenuse \(a\):
\begin{align*}a^{2}=h^{2}+(c-q)^{2}=h^{2}+c^{2}-2cq+q^{2} \end{align*}
Für den dritten Term haben wir die zweite binomische Formel angewandt. Für das zweite Dreieck \(\triangle ADC\) gilt nun das gleiche:
\begin{align*}b^{2}=h^{2}+q^{2} \\
h^{2}=b^{2}-q^{2} \end{align*}
Mit der letzten Umstellung, können wir nun den Term in unsere erste Gleichung einsetzen.
\begin{align*}a^{2}=b^{2}+c^{2}-2cq \end{align*}
Jetzt müssen wir noch den Kosinus verwenden, den wir am Anfang gelernt haben: \(cos(Winkel)=\dfrac{Ankathete}{Hypotenuse}\). Das ergibt für unseren Winkel \(cos(\alpha)=\dfrac{q}{b}\).

Stellen wir das noch um, erhalten wir \(q=b\cdot cos(\alpha)\). Nun können wir \(q\) in der vorherigen Formel mit diesem Term ersetzen und erhalten
\begin{align*}a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot cos(\alpha) \end{align*}
Dies ist unsere erste Formel des Kosinussatzes. Auf ähnlichem Weg bekommen wir auch die übrigen zwei:
\begin{align*}b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot cos(\beta) \\
c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot cos(\gamma) \end{align*}

Euch ist vielleicht schon eine gewisse Ähnlichkeit zum Satz des Pythagoras aufgefallen. Dieser ist ein Spezialfall des Kosinussatzes, nämlich wenn es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. Sei \(\gamma=90°\), dann wäre \(cos(90°)=0\). Daraus ergibt sich der Satz des Pythagoras mit \(c^{2}=a^{2}+b^{2}\).

Schauen wir uns auch hier wieder ein Beispiel an. Gegeben sei ein beliebiges Dreieck mit den Seitenlängen \(a=10\), \(b=11\) und \(c=12\). Wie finden wir nun die Größe des Winkel \(\alpha\) heraus?

Lösung

Sinus6

Zunächst müssen wir uns die Formel auswählen, in der \(\alpha\) enthalten ist. Diese versuchen wir dann nach \(cos(\alpha)\) umzustellen.
\begin{align*}a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot cos(\alpha) \\
a^{2}-b^{2}-c^{2}=-2bc\cdot cos(\alpha) \\
cos(\alpha)=\dfrac{a^{2}-b^{2}-c^{2}}{-2bc} \\ \end{align*}

 

Dann müssen lediglich die Werte eingesetzt und der arccos angewendet werden.
\begin{align*}cos(\alpha)=\dfrac{10^{2}-11^{2}-12^{2}}{-2\cdot11\cdot12} \\
cos(\alpha)=\dfrac{-165}{-264}=\dfrac{5}{8} \\
\alpha=arccos(\dfrac{5}{8})=51,32°\end{align*}