Inhalt:
» Allgemeines
» Flächeninhalt eines Vierecks
» Parallelogramm
» Rechteck
» Raute
» Quadrat
» Trapez
» Drachenviereck
» Sehnenviereck

Allgemeines

Wie der Name vermuten lässt, ist ein Viereck eine ebene geometrische Figur mit genau vier Eckpunkten. Vierecke gibt es in unzähligen unterschiedlichen Variationen, welche klassifiziert wurden. Ein paar Eigenschaften haben sie allerdings alle gemeinsam.

  • Die Innenwinkelsumme eines beliebigen Vierecks beträgt stets 360°.
  • Ein Viereck hat zwei Diagonalen, eine Gerade die die gegenüberliegenden Punkte miteinander verbindet
  • In der Regel erfolgt die Beschriftung gegen den Uhrzeigersinn

Kennt man fünf unabhängige Größen eines Vierecks - dazu gehören Seitenlänge, Winkelgröße und Diagonalenlängen - dann ist das Viereck eindeutig festgelegt. Nicht unabhängig sind zum Beispiel die vier Innenwinkel, da sich der vierte Innenwinkel aus der Innenwinkelsumme (360°) und den anderen 3 Innenwinkeln berechnen lässt. Auch ist das Viereck durch 5 Größen nicht eindeutig bestimmt, wenn man konkave Vierecke zulässt, z.B. kann, wenn man 4 Seiten und einen Innenwinkel gegeben hat, die Ecke, die dem gegebenen Winkel gegenüberliegt, konkav oder konvex sein. Dazu aber nun mehr.

Zu den diversen Klassifizierungen gehört zunächst die Unterscheidung zwischen konvex (die Diagonalen schneiden sich innerhalb des Vierecks) und konkav (die Diagonalen schneiden sich außerhalb des Vierecks):

Vierecke1

In der Gruppe der konvexen Vierecke gibt es weitere Unterteilungen, auf die wir nun eingehen werden. Sämtliche Vierecke, die sich in keine der folgenden Gruppen einordnen lassen, werden als unregelmäßige Vierecke bezeichnet.

Flächeninhalt und Umfang eines Vierecks

unregelmäßiges Viereck Parallelogramm Rechteck Raute
\(A=A_{\triangle1}+A_{\triangle2}\) \(A=a\cdot h\) \(A=a\cdot b\) \(A=\dfrac{1}{2}e\cdot f\)
Flaeche1 Flaeche2 Flaeche3 Flaeche1
Quadrat Trapez  Drachenviereck Sehnenviereck
\(A=a\cdot a\) \(A=\dfrac{1}{2}(a+c)\cdot h\)  \(A=\dfrac{1}{2}e\cdot f\) \(A=\sqrt[2]{(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)}\)
mit \(x=0,5\cdot(a+b+c+d)\)
Flaeche5 Flaeche6 Flaeche7 Flaeche8

 

Parallelogramm

Bei einem Parallelogramm sind die gegenüberliegenden Seiten zueinander parallel.

Vierecke2

Bei einem Parallelogramm gilt auch Punktsymmetrie, der Symmetriepunkt ist dabei immer der Schnittpunkt der beiden Diagonalen. Mit diesem Schnittpunkt halbieren sich die beiden Diagonalen und er bildet den Mittelpunkt des Vierecks.

Durch die Parallelität sind gegenüberliegende Seiten immer gleich lang. Das gleiche gilt ebenso für gegenüberliegende Winkel. Daher ergeben auch zwei Winkel auf derselben Seite immer zusammen 180°.

Rechteck

Ein Spezialfall des Parallelogramms ist das Rechteck. Zu der Parallelität werden vier rechte Winkel vorausgesetzt.

Vierecke3

Auch hier sind wieder die gegenüberliegenden Seiten gleich lang. Beide Diagonalen haben auch die gleiche Länge und halbieren sich im Mittelpunkt. Mithilfe dieses Mittelpunktes kann man auch einen Umkreis um das Rechteck ziehen.

Raute

Ein weiterer Spezialfall des Parallelogramms ist die Raute. Es weist daher die gleichen Eigenschaften auf. Diesmal müssen neben der Parallelität allerdings noch alle Seiten gleich lang sein.

Vierecke4

Man erkennt, dass bei einer Raute die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen und die jeweiligen Winkel halbieren. Die Diagonalen sind ebenfalls Symmetrieachsen, die Raute ist punkt- sowie achsensymmetrisch. Eine Raute hat immer einen Inkreis, der Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der Diagonalen.

Quadrat

Bei einem Quadrat sind die Merkmale eines Rechteckes und einer Raute vorzufinden. Alle Winkel betragen daher 90° und alle Seiten sind gleich lang.

Vierecke5

Aufgrund der Einheitlichkeit ist ein Quadrat achsensymmetrisch bezüglich der Diagonalen und Mittelsenkrechten der Seiten sowie punktsymmetrisch bezüglich des Schnittpunktes der Diagonalen. Dieser Schnittpunkt bildet dann den Mittelpunkt für einen Umkreis und Inkreis.

Trapez

Anders als bei einem Parallelogramm, müssen bei einem Trapez lediglich zwei Seiten zueinander parallel sein. Diese werden Grundseiten genannt. Die anderen beiden Seiten, die beliebig zueinander positioniert sein können, werden Schenkel genannt.

Vierecke6

Zwei Winkel, die auf einem Schenkel liegen, ergeben zusammen 180°.

Hier gibt es den Spezialfall eines symmetrischen Trapezes. Hier haben zusätzlich die beiden Winkel auf der gleichen Grundseite die gleiche Größe.

Vierecke7

Dadurch haben Seiten, die sich gegenüberliegen, die gleiche Länge und auch die Diagonalen sind gleich lang. Zudem hat ein symmetrisches Trapez immer einen Umkreis.

Drachenviereck

Bei einem Drachenviereck sind jeweils zwei nebeneinander liegende Seiten gleich lang.

Vierecke8

Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander und wie man sieht, ist das Drachenviereck zur waagerechten Diagonalen achsensymmetrisch.

Sehnenviereck

Hier kann es sich mit bloßem Auge betrachtet um ein unregelmäßiges Viereck handeln. Schaut man allerdings genauer hin, so liegen alle Eckpunkte auf dem Umkreis. Das ist das entscheidende Merkmal für ein Sehnenviereck. Die jeweils gegenüberliegenden Winkel bilden zusammen 180°.

Vierecke9

Bei einem Sehnenviereck ist es mit der folgenden Formel möglich, den Radius R des Umkreises zu berechnen. Der Flächeninhalt des Vierecks wird mit \(A\) bezeichnet:
\begin{align*}R=\dfrac{1}{4A}\cdot\sqrt[2]{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)} \end{align*}
Die Diagonalen kann man jeweils mit diesen Formeln bestimmen:
\begin{align*}d_{1}=\sqrt[2]{\dfrac{(ac+bd)(bc+ad)}{ab+cd}} \\
d_{2}=\sqrt[2]{\dfrac{(ac+bd)(ab+cd)}{bc+ad}} \end{align*}