Kommen wir zur Division von Brüchen: Hier muss zunächst ein neuer Begriff eingeführt werden, nämlich der des Kehrwertes auch Kehrbruch genannt. Mathematiker reden oft auch (ganz vornehm) vom multiplikativen Inversen. Der Kehrwert eines Bruches ist nichts weiter, als ein Bruch, bei dem Zähler und Nenner vertauscht wurden: Der Kehrwert von \(\frac{3}{4}\) ist \(\frac{4}{3}\), der kehrtwert von \(\frac{1}{6}\) ist \(\frac{6}{1}\), also \(6\), und so weiter. Auch natürliche Zahlen haben Kehrwerte, denn wenn man \(3\) als Bruch auffasst, also \(3=\frac{3}{1}\), so ist dann \(\frac{1}{3}\) der Kehrwert von \(3\). Die wichtigste Eigenschaft des Kehrwertes ist, dass das Produkt eines Bruches mit seinem Kehrwert immer genau \(1\) ist:

Sei \(q=\frac{m}{n}\). Der Kehrwert von \(q\) ist dann also \(\frac{n}{m}\). Wenn wir nun \(\frac{m}{n} \cdot \frac{n}{m}\) berechnen, erhalten wir \(\frac{m \cdot n }{n \cdot m}\), was man, egal was \(n\) und \(m\) gewesen sind, zu \(\frac{1}{1}=1\), kürzen kann.

Wenn du verstanden hast, was der Kehrwert eines Bruches ist, geht es nun darum, die Division von Brüchen zu definieren. Dazu muss man aber erstmal verstehen, was Division überhaupt bedeutet: Division ist die Umkehrung der Multiplikation. Wenn man eine Zahl durch eine andere dividiert, sucht man ja eine Zahl, die mit der einen Zahl multipliziert die andere ergibt. Das kann man am besten an Beispielen verdeutlichen:
\begin{align*}
20 \div 4 = 5\end{align*}denn\begin{align*}5 \cdot 4 = 20
\end{align*}
\begin{align*}
100 \div 25 = 4\end{align*}denn\begin{align*}4 \cdot 25 = 100
\end{align*}
Allgemein hat man:
\begin{align*}
a \div b = c\end{align*}denn\begin{align*}c \cdot b = a
\end{align*}
Das heißt, ein Quotient zeichnet sich dadurch aus, multipliziert mit dem Divisor den Dividenden zu ergeben (in dem obersten Beispiel war \(20\) der Dividend, \(4\) der Divisor und \(5\) der Quotient.
Genau das gleiche Konzept kann man nun auf Brüche übertragen:
\begin{align*}\frac{3}{4} \div \frac{9}{5} = \frac{5}{12}\end{align*} denn \begin{align*}\frac{5}{12} \cdot \frac{9}{5} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4}\end{align*}

\begin{align*}\frac{1}{2} \div \frac{7}{8} = \frac{4}{6}\end{align*} denn \begin{align*}\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{8} = \frac{28}{56}= \frac{1}{2}\end{align*}.
Doch wie kommt man auf die Brüche \(\frac{5}{12}\) und \(\frac{4}{7}\)? Die Antwort hat mit dem Kehrwert zu tun: Man kann Brüche dividieren, in dem man den einen Bruch mit dem Kehrwert des anderen multipliziert! Betrachten wir noch einmal \(\frac{3}{4} \div \frac{9}{5}\). Der Kehrwert von \(\frac{9}{5}\) ist \(\frac{5}{9}\). Wenn man also \(\frac{3}{4} \div \frac{9}{5}\) rechnet, erhält man \begin{align*}\frac{3}{4} \div \frac{9}{5} = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{9} = \frac{15}{36}=\frac{5}{12}\end{align*}
Der Kehrwert von \(\frac{7}{8}\) ist \(\frac{8}{7}\), aus \(\frac{1}{2} \div \frac{7}{8}\) wird \begin{align*}\frac{1}{2} \div \frac{7}{8} = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{7} =\frac{7}{14} = \frac{1}{2}\end{align*}

Aber warum ist das so? Betrachten wir zwei Brüche, der eine ist \(\frac{m_1}{n_1}\) der andere \(\frac{m_2}{n_2}\). Der Kehrwert von \(\frac{m_2}{n_2}\) ist nun \(\frac{n_2}{m_2}\). Wir wollen nun zeigen, dass folgendes gilt:

\begin{align*}
\frac{m_1}{n_1} \div \frac{m_2}{n_2} = \frac{m_1}{n_1} \cdot \frac{n_2}{m_2}.
\end{align*}

Dies ist aber (so haben wir die Division oben definiert) gleichbedeutend mit:

\begin{align*}
\frac{m_1}{n_1} = \frac{m_1}{n_1} \cdot \frac{n_2}{m_2} \cdot \frac{m_2}{n_2}.
\end{align*}

Im hinteren Teil des Produktes steht nun aber ein Bruch, der mit seinem Kehrwert multipliziert wurde, das heißt also, ihr Produkt ist \(1\). Daher ist \(\frac{m_1}{n_1} = \frac{m_1}{n_2} \cdot 1\), unsere Formel stimmt also.

Aus der Definition der Division wird nun auch etwas anderes, sehr entscheidendes klar: Wenn wir zum Beispiel \(12 \div 7\) betrachten und \(12\) und \(7\) als Brüche, also als \(\frac{12}{1}\) bzw. \(\frac{7}{1}\) auffassen, wird aus \(12\div 7\)
\begin{align*}
12\div 7 =\frac{12}{1}\div \frac{7}{1} = \frac{12}{1} \cdot \frac{1}{7}=\frac{12}{7}.
\end{align*}
Der Quotient natürlicher Zahlen ist also nichts anderes als ein Bruch, bei dem der Zähler der Divisor und der Nenner der Divident ist! Vielleicht hast du das ja schon geahnt, aber wenn nicht, ist das eines der wichtigsten Dinge, die du aus der Bruchrechnung mitnehmen solltest: \(\frac{6}{2}\) ist zum Beispiel nichts anderes als \(6\) geteilt durch \(2\), also \(3\)! Das Ganze sieht man auch, wenn man \(\frac{6}{2}\) mit \(2\) auf \(\frac{3}{1} = 1\) kürzt.
Da es absolut keinen Unterschied zwischen Brüchen und Quotienten gibt, schreibt man bei einer Division von Brüchen auch oft einen großen Bruchstrich anstelle eines Divisionssymbols, also \(\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}}\) statt \(\frac{3}{4} \div \frac{5}{8}\) (man nennt das Doppelbruch). Hier gilt es, nicht zu erschrecken, sondern zu wissen, dass \(\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}} =\frac{3}{4} \div \frac{5}{8}\) ist, was wiederrum das gleiche ist wie \(\frac{3 \cdot 8}{4 \cdot 5} = \frac{24}{20}=\frac{6}{5}.\)

Dass der Quotient zweier Zahlen das Gleiche ist wie sein entsprechender Bruch, wird im nächsten Kapitel eine entscheidende Rolle spielen, wenn es um Dezimalzahlen und ihre Darstellung als Brüche geht.

Aber vorher noch eine kleine Übung:

Berechne!

\begin{align*}
&a) &&\frac{4}{3} \div \frac{9}{7}\\
&b) &&\frac{7}{4} \cdot \frac{2}{3} \div \frac{14}{8}\\
&c) &&\frac{\frac{50}{65}}{\frac{10}{13}}\\
&d) &&\frac{\frac{1}{5}}{\frac{5}{2}}
\end{align*}

 

Lösung

\begin{align*} &a) &&\frac{4}{3} \div \frac{9}{7}=\frac{4}{3} \cdot \frac{7}{9}=\frac{28}{27}\\ &b) &&\frac{7}{4} \cdot \frac{2}{3} \div \frac{14}{8}=\frac{14}{12} \div \frac{14}{8}=\frac{14}{12} \cdot \frac{8}{14}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\\ &c) &&\frac{\frac{50}{65}}{\frac{10}{13}}=\frac{50}{65} \div \frac{10}{13}=\frac{50}{65} \cdot \frac{13}{10}=\frac{5}{5} \cdot \frac{1}{1}=1\\ &d) &&\frac{\frac{1}{5}}{\frac{5}{2}}=\frac{1}{5} \div \frac{5}{2}=\frac{1}{5} \cdot \frac{2}{5}=\frac{2}{25}
\end{align*}

 

Bei welchen dieser Brüche handelt es sich um natürliche Zahlen?

\begin{align*}
&a) &&\frac{10}{9} \div \frac{2}{3}\\
&b) &&\frac{5}{8} \div \frac{15}{6}\\
&c) &&\frac{30}{9} \div \frac{5}{6}
\end{align*}

Lösung

\begin{align*}
&a) &&\frac{10}{9} \div \frac{2}{3}=\frac{10}{9} \cdot \frac{3}{2}=\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{1}=\frac{5}{3} \notin \mathbb{N}\\
&b) &&\frac{5}{8} \div \frac{15}{6}=\frac{5}{8} \cdot \frac{6}{15}=\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}=\frac{1}{4} \notin \mathbb{N}\\
&c) &&\frac{30}{9} \div \frac{5}{6}=\frac{30}{9} \cdot \frac{6}{5}=\frac{6}{3} \cdot \frac{2}{1}=\frac{12}{3}=4 \in \mathbb{N}\\
\end{align*}

Addiere erst und dividiere dann!

\begin{align*}
&a) &&(\frac{2}{3}+\frac{1}{6}) \div \frac{1}{7}\\
&b) &&(\frac{1}{5}+\frac{4}{7}) \div \frac{3}{4}\\
&c) &&(\frac{1}{2}-\frac{2}{5}) \div (\frac{1}{5}+\frac{2}{3})
\end{align*}

Lösung

\begin{align*}
&a) &&(\frac{2}{3}+\frac{1}{6}) \div \frac{1}{7}=\frac{5}{6} \div \frac{1}{7}=\frac{5}{6} \cdot \frac{7}{1}=\frac{35}{6}\\
&b) &&(\frac{1}{5}+\frac{4}{7}) \div \frac{3}{4}=(\frac{7}{35}+\frac{20}{35}) \div \frac{3}{4}=\frac{27}{35} \div \frac{3}{4}=\frac{27}{35} \cdot \frac{4}{3}=\frac{9}{35} \cdot \frac{4}{1}=\frac{36}{35}\\
&c) &&(\frac{1}{2}-\frac{2}{5}) \div (\frac{1}{5}+\frac{2}{3})=(\frac{5}{10}-\frac{4}{10}) \div (\frac{3}{15}+\frac{10}{15})=\frac{1}{10} \div \frac{13}{15}=\frac{1}{10} \cdot \frac{15}{13}=\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{13}=\frac{3}{26}
\end{align*}