Das Thema dieses Kapitels sind Brüche oder Bruchzahlen: Hier lernst du, was Bruchzahlen sind, wie man sie darstellt, mit Ihnen rechnet, und mehr, und das alles auch noch interaktiv!
Doch was sind Bruchzahlen? Den Teil „Bruch-…“ im Wort Bruchzahlen kann man dabei ganz wörtlich nehmen: Stell dir vor, du brichst etwas (Torten, Schokoladentafeln, Streichhölzer, eine Zahl) in \(n\) gleichgroße Teile auf und fügst \(m\) dieser Teile wieder zu einem zusammen. Auf diese Weise entsteht der Bruch \(\frac{m}{n}\), gelesen „\(m\) \(n\)-tel“ oder auch „\(m\) durch \(n\)“. Teilst du beispielsweise eine Tafel Schokolade in \(5\) Teile und nimmst davon \(3\), so hast du drei Fünftel, also \(\frac{3}{5}\), dieser Tafel. Teilst du eine Torte in \(9\) Stücke und nimmst dir davon \(4\) (du hast großen Hunger), so hast du vier Neuntel, also \(\frac{4}{9}\), dieser Torte. Die Anzahl der Stücke, in den du die Torte (die Schokoladentafel, das Streichholz, etc..) geteilt hast, heißt der Nenner des Bruches. Die Anzahl der Stücke, die du dir nimmst, heißt der Zähler des Bruches.

Bruchtorte
Der Bruch \( \frac{4}{9}\)

In dem interaktiven Tool kannst du Brüche erzeugen: Am slider \(n\) kannst du einstellen, wie groß der Nenner des Bruches sein soll. Du siehst, dass die Torte in \(n\) gleichgroße Teile zerteilt wird. Am Slider \(m\) kannst du den Zähler einstellen; die Stücke, die du dir nimmst sind dann farbig markiert.

Hier geht es zum interaktiven Tool.

Es kann auch vorkommen, dass der Zähler eines Bruches größer ist als der Nenner, wir reden dann von „unechten Brüchen“, die man in „gemischte Zahlen“ umwandeln kann. Falls du dir beispielsweise \(18\) Achtel einer Torte nimmst, kannst du davon \(2\) ganze Torten zusammenstellen (aus \(16\) Stücken, also je zweimal \(8\)), und \(2\) Stücke bleiben übrig. (Genau das ist übrigens Division mit Rest!) Man sagt dann: \(\frac{18}{8} = 2 \frac{2}{8}\), und meint damit: \(\frac{18}{8}\) sind das Gleiche wie \(2\) Ganze und/plus \(2\) Achtel. Andersherum kann man auch aus gemischten Zahlen unechte Brüche machen: \(3 \frac{2}{5}\) sind zum Beispiel drei Ganze und zwei Fünftel. Da ein Ganzes offensichtlich aus \(5\) Fünfteln besteht, bestehen \(3\) Ganze demnach aus \(3 \cdot 5 = 15\) Fünfteln. Zusammen haben wir dann letztlich \(15\) Fünftel und zwei Fünftel, also insgesamt \(17\) Fünftel. Wir schreiben nun \(3 \frac{2}{5} = \frac{17}{5}\).

Unechte Brüche
Der unechte Bruch \(3 \frac{2}{5}\)


Im zweiten interkativen Tool kannst du unechte Brüche erzeugen, wieder kannst du mit \(m\) den Zähler und mit \(n\) den Nenner einstellen. Was passiert,
...wenn der Zähler größer ist als der Nenner?
...wenn der Zähler kleiner ist als der Nenner?
...wenn sie gleich sind?
...wenn der Zähler ein vielfaches des Nenners ist?

Hier geht es zum interaktiven Tool.

Man kann auch natürliche Zahlen als Brüche darstellen: die Zahl \(5\) kann man beispielsweise als \(\frac{5}{1}\) auffassen: Man teilt eine Torte in ein Stück (also eine ganze Torte) und nimmt sich davon \(5\) Stücke (also \(5\) ganze Torten). Die natürlichen Zahlen bilden somit eine echte Teilmenge der Bruchzahlen: Jede natürliche Zahl ist auch ein Bruch, aber nicht jeder Bruch ist eine Natürliche Zahl. Auch bei \(\frac{21}{7}\) handelt es sich in Wirklichkeit um eine natürliche Zahl. Wenn du einen Schokoriegel in \(7\) gleichgroße Teile zerteilst, bilden \(7\) dieser Teile einen ganzen Riegel. \(3\) ganze Riegel bestehen demnach aus \(21\) Siebteln, da \(21 = 3 \cdot 7\) ist. \(\frac{21}{7}\) ist also das gleiche wie \(3\). Probiere, diese Situation mit dem interaktiven Tool nachzustellen!


Übung

Schaffst du es, folgende unechte Brüche in gemischte Zahlen und andersherum umzuwandeln?

\begin{align*}
&a) &&3 \frac{1}{7}\\
&b) &&2 \frac{4}{5}\\
&c) &&\frac{9}{4}\\
&d) &&\frac{34}{5}\\
&e) &&\frac{88}{7}
\end{align*}

 

 

Lösung

\begin{align*}
&a) &&3 \frac{1}{7}=\frac{21}{7}+\frac{1}{7}=\frac{22}{7}\\
&b) &&2 \frac{4}{5}=\frac{10}{5}+\frac{4}{5}=\frac{14}{5}\\
&c) &&\frac{9}{4}=\frac{8}{4}+\frac{1}{4}=2\frac{1}{4}\\
&d) &&\frac{34}{5}=\frac{30}{5}+\frac{4}{5}=6\frac{4}{5}\\
&e) &&\frac{88}{7}=\frac{84}{7}+\frac{4}{7}=12\frac{4}{7}
\end{align*}

 

 

Manche dieser unechten Brüche sind natürliche Zahlen; kannst du herausfinden, welche?

\begin{align*}
&a) &&\frac{35}{7}\\
&b) &&\frac{24}{2}\\
&c) &&\frac{48}{36}\\
&d) &&\frac{36}{12}\\
&e) &&\frac{1}{2}\\
&f) &&\frac{0}{3}
\end{align*}

 

 

Lösung

\begin{align*}
&a) &&\frac{35}{7}=\frac{5}{1}=5 \in \mathbb{N} \\
&b) &&\frac{24}{2}=\frac{12}{1}=12 \in \mathbb{N}\\
&c) &&\frac{48}{36}=\frac{4}{3} \notin \mathbb{N}\\
&d) &&\frac{36}{12}=\frac{3}{1}=3 \in \mathbb{N}\\
&e) &&\frac{1}{2} \notin \mathbb{N}\\
&f) &&\frac{0}{3}=0 \in \mathbb{N}
\end{align*}

 

 

Im nächsten Kapitel wird es um Erweitern und Kürzen gehen. Auch hier wird es ein interaktives Tool geben, auf das du dich freuen kannst.