Was passiert, wenn man eine Stunde in \(60\) gleiche Teile teilt und sich ein Teil davon nimmt? Man erhält \(\frac{1}{60}\) einer Stunde, besser bekannt unter dem Namen „eine Minute“. Was passiert, wenn man eine Stunde in \(4\) gleichgroße Teile teilt und sich davon \(3\) nimmt? Man erhält \(\frac{3}{4}\) einer Stunde. Du weißt, dass eine dreiviertel Stunde genau \(45\) Minuten sind. Da eine Minute \(\frac{1}{60}\) einer Stunde ist, ist folglich eine dreiviertel Stunde \(\frac{45}{60}\) einer Stunde (Man teilt die Stunde in \(60\) gleichgroße Teile und nimmt sich davon \(45\)). Es ist also so, dass \(\frac{45}{60}\) in Wirklichkeit der gleiche Bruch ist wie \(\frac{3}{4}\). Das Prinzip, dass man kompliziertere Brüche manchmal in einfachere Brüche umwandeln kann nennt man Kürzen. Manchmal ist es hingegen notwendig, den Bruch in einen komplizierteren Bruch umzuwandeln, zum Beispiel, wenn man sich fragt, aus wie vielen Minuten (ein Sechzigstel einer Stunde) eine dreiviertel Stunde besteht. Man redet dann von Erweitern.

Stell dir vor, du teilst etwas (sagen wir zum Beispiel eine Torte) in \(n\) gleichgroße Teile und nimmst dir davon \(m\) Teile (du nimmst dir also \(\frac{m}{n}\) der Torte). Nun machst du nichts anderes, als die \(m\) Teile jeweils in \(3\) gleiche Teile zu unterteilen, ohne dabei die Menge an Torte auf deinem Teller zu verändern. Du hast dann zwar dreimal so viele Stücke, also \(3 \cdot m\), aber hast die Torte auch in dreimal so viele gleichgroße Stücke geteilt, also in \(3 \cdot n\) Stücke. Der Anteil der Stücke an der Gesamttorte ist jedoch beide Male gleichgeblieben, es muss also gelten: \(\frac{3 \cdot m}{3 \cdot n} = \frac{m}{n}\). Wenn man von \(\frac{3 \cdot m}{3 \ n}\) auf \(\frac{m}{n}\) kommt, sagt man, man habe den Bruch mit \(3\) gekürzt. Kommt man hingegen von \(\frac{m}{n}\) auf \(\frac{3 \cdot m}{3 \ n}\), sagt man, man habe den Bruch um \(3\) erweitert. Erweitern und Kürzen sind also gegensätzliche Begriffe. Man kann einen Bruch immer erweitern, aber nur dann kürzen, wenn Zähler und Nenner gemeinsame Teiler haben. Haben Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler (abgesehen natürlich von der eins), so nennt man sie „zu Ende gekürzt“.
Wichtig ist, dass es sich bei gekürzten und erweiterten Brüchen um den gleichen Bruch wie vorher handelt, es ist nur eine andere Darstellung! \(\frac{3}{4}\) und \(\frac{45}{60}\) sind in dem gleichen Sinne identisch, wie \(7-3\) das gleiche ist wie \(3+1\): beides sind unterschiedliche Darstellungen der gleichen Zahl.

Erweitern und Kürzen
\( \frac{4}{7}\) und \( \frac{12}{21}\) beschreiben den gleichen Bruch

In dem interaktiven Tool kannst du Brüche erweitern: Zähle, in wie viele Kreise der linke und der rechte Teil geteilt sind und, wie viele Teile davon jeweils farbig markiert sind. Beachte, dass die markierte Fläche links und rechts dabei stets identisch sind, es handelt sich ja jeweils um die gleichen Brüche.

Hier geht es zum interaktiven Tool.

Beispiele

  • Im Beispiel oben hat man \(\frac{45}{60}\) mit der Zahl \(15\) auf \(\frac{3}{4}\) gekürzt, \(\frac{3}{4}\) ist zu Ende gekürzt, da \(3\) und \(4\) keinen gemeinsamen Teiler (außer \(1\)) haben.
  • Wenn man \(\frac{5}{3}\) um \(5\) erweitert, erhält man \(\frac{5}{3}=\frac{25}{15}\).
  • Man kann \(\frac{48}{36}\) mit \(3\) kürzen und erhält \(\frac{48}{36} = \frac{16}{12}\), was man wiederum mit \(4\) kürzen kann um \(\frac{16}{12} = \frac{4}{3}\) zu erhalten. Man hat also \(\frac{48}{36} = \frac{4}{3}\).
  • \(\frac{100}{25}\) kann man mit \(25\) auf \(\frac{4}{1}\) kürzen, was das Gleiche ist wie die Zahl \(4\). Dies ist gleichbedeutend damit, dass \(100\) geteilt durch \(25\) gleich \(4\) ist.

Übung

Erweitere folgende Brüche.

\begin{align*}
&a) &&\frac{5}{8}\ um\ 2.\\
&b) &&\frac{2}{3}\ um\ 7.\\
&c) &&\frac{1}{50}\ um\ 20.\\
&d) &&\frac{4}{7}\ um\ 4.\\
&e) &&\frac{4}{7}\ um\ 7.\\
&f) &&\frac{17}{34}\ um\ 10.
\end{align*}



Lösung

\begin{align*}
&a) &&\frac{5}{8}=\frac{10}{16} \\
&b) &&\frac{2}{3}=\frac{14}{21} \\
&c) &&\frac{1}{50}=\frac{20}{1000} \\
&d) &&\frac{4}{7}=\frac{16}{28} \\
&e) &&\frac{4}{7}=\frac{28}{49} \\
&f) &&\frac{17}{34}=\frac{170}{340}
\end{align*}

 

 

Kürze folgende Brüche:

\begin{align*}
&a) &&\frac{4}{6}\ mit\ 2.\\
&b) &&\frac{39}{15}\ mit\ 3.\\
&c) &&\frac{24}{60}\ mit\ 2\ und\ anschließend\ mit\ 3.\\
&d) &&\frac{24}{60}\ mit\ 3\ und\ anschließend\ mit\ 2.\\
&e) &&\frac{24}{60}\ soweit\ wie\ möglich.\\
&f) &&\frac{45}{360}\ mit\ 5.\\
&g) &&\frac{45}{360}\ soweit\ wie\ möglich.
\end{align*}



 

 

Lösung

\begin{align*}
&a) &&\frac{4}{6}=\frac{2}{3} \\
&b) &&\frac{39}{15}=\frac{13}{5}\\
&c) &&\frac{24}{60}=\frac{12}{30}=\frac{4}{10} \\
&d) &&\frac{24}{60}=\frac{8}{20}=\frac{4}{10} \\
&e) &&\frac{24}{60}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\\
&f) &&\frac{45}{360}=\frac{9}{72} \\
&g) &&\frac{45}{360}=\frac{9}{72}=\frac{1}{8}
\end{align*}

 

 

Kann man den Bruch so kürzen, dass der Nenner \(5\) wird? Wenn ja, mit welcher Zahl muss man kürzen?

\begin{align*}
&a) &&\frac{20}{15}\\
&b) &&\frac{30}{25}\\
&c) &&\frac{24}{10}\\
&d) &&\frac{22}{20}\\
&e) &&\frac{12}{20}\\
&f) &&\frac{120}{100}\\
&g) &&\frac{66}{55}
\end{align*}



 

Lösung

\begin{align*}
&a) &&Nein.\\
&b) &&Ja, Kürzen \ mit \ 5  \ ergibt: \frac{30}{25}=\frac{6}{5}\\
&c) &&Ja, Kürzen \ mit \ 2 \ ergibt: \frac{24}{10}=\frac{12}{5}\\
&d) &&Nein.\\
&e) &&Ja, Kürzen \ mit \ 4  \ ergibt: \frac{12}{20}=\frac{3}{5}\\
&f) &&Ja, Kürzen \ mit \ 20 \ ergibt: \frac{120}{100}=\frac{6}{5}\\
&g) &&Ja, Kürzen \ mit \ 11 \ ergibt: \frac{66}{55}=\frac{6}{5}\\
\end{align*}

 

 

Kann man den Bruch so erweitern, dass der Zähler \(48\) wird? Wenn ja, mit welcher Zahl muss man erweitern?

\begin{align*}
&a) &&\frac{3}{5}\\
&b) &&\frac{5}{3}\\
&c) &&\frac{16}{17}\\
&d) &&\frac{18}{4}\\
&e) &&\frac{1}{9}\\
&f) &&4 (= \frac{4}{1})\\
&g) &&\frac{32}{20}
\end{align*}

 

 

Lösung

\begin{align*}
&a) &&Nein.\\
&b) &&Ja, Erweitern \ mit \ 16  \ ergibt: \frac{5}{3}=\frac{80}{48}\\
&c) &&Nein.\\
&d) &&Ja, Erweitern \ mit \ 12  \ ergibt: \frac{18}{4}=\frac{216}{48}\\
&e) &&Nein.\\
&f) &&Ja, Erweitern \ mit \ 48  \ ergibt: \frac{4}{1}=\frac{192}{48}\\
&g) &&Nein.\\
\end{align*}

 

 

Erweitere beide Brüche so, dass sie den gleichen Nenner haben! Womit hast du jeweils erweitert?

\begin{align*}
&a) &&\frac{3}{4}\ und\ \frac{5}{6}\\
&b) &&\frac{1}{2}\ und\ \frac{2}{3}\\
&c) &&\frac{16}{17}\ und\ \frac{13}{14}\\
&d) &&\frac{1}{10}\ und\ \frac{4}{15}
\end{align*}

 

Lösung

\begin{align*}
&a) &&Erweitern \ mit \ 3 \ bzw. \ 2 \ ergibt: \ \frac{3}{4}=\frac{9}{12} \ und\ \frac{5}{6}=\frac{10}{12}\\
&b) &&Erweitern \ mit \ 3 \ bzw. \ 2 \ ergibt: \ \frac{1}{2}=\frac{3}{6} \ und\ \frac{2}{3}=\frac{4}{6}\\
&c) &&Erweitern \ mit \ 14 \ bzw. \ 17 \ ergibt: \ \frac{16}{17}=\frac{224}{238} \ und\ \frac{13}{14}=\frac{221}{238}\\
&d) &&Erweitern \ mit \ 3 \ bzw. \ 2 \ ergibt: \ \frac{1}{10}=\frac{3}{30} \ und\ \frac{4}{15}=\frac{8}{30}
\end{align*}

 


Wenn du nun verstanden hast, was Kürzen und Erweitern ist, wirst du auch verstehen, wie man Brüche addieren und subtrahieren kann; dies wird dir im nächsten Kapitel begegnen.