Im letzten Kapitel hast du gelernt, wie man Brüche addieren kann. In diesem wirst du lernen, wie man sie multipliziert, natürlich auch wieder mit interaktiven Tools! Während das addieren von Brüchen vom Verständnis her leichter ist, aber vom Rechenaufwand her schwieriger, verhält es sich bei der Multiplikation genau anders herum: Man kann für die Multiplikation von Brüchen eine sehr einfache Formel hernehmen, aber es ist ein bisschen schwieriger, zu verstehen, wo diese herkommt. Aber nur Mut! Versuch trotzdem einmal, die Herleitung zu verstehen, am besten jeden Schritt - die interaktiven Tools werden dir dabei helfen, versprochen! Los geht´s!

Was ist \(\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{7}\)? Um diese Frage zu beantworten, muss man sich fragen, was passiert, wenn man sich drei Viertel von fünf Siebteln von etwas (zum Beispiel einer Torte) nimmt. Stell dir vor, du nimmst dir fünf Siebtel einer Torte, das heißt, du schneidest die Torte in \(7\) gleichgroße Stücke und nimmst dir davon \(5\). Wenn du nun wiederum jedes Siebtel nochmal in \(4\) Stücke zerteilst, hast du den Kuchen insgesamt in \(7 \cdot 4 = 28\) gleichgroße Stücke unterteilt. Aus den \(5\) Stücken, die du dir genommen hast, sind dadurch also \(\frac{5}{28}\) geworden, das ist \(\frac{1}{4}\) von \(\frac{5}{7}\). Wenn du dir aber nicht ein, sondern gleich drei Viertel von den \(\frac{5}{7}\) nehmen willst, heißt das, du musst die dreifache Menge von \(\frac{5}{28}\) nehmen, also insgesamt \(\frac{15}{28}\). Wir haben nun insgesamt: \begin{align*}\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{7}= \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 7} = \frac{15}{28}\end{align*}
Wie du in der Herleitung sehen konntest, multipliziert man also einfach jeweils die Zähler und die Nenner der beiden Brüche, um den Zähler und den Nenner des Produktes zu erhalten.

testbild
\(\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{7} = \frac{15}{28}\)

In dem interaktiven Tool kannst du nun im linken Kreis den ersten Bruch einstellen. Dieser Bruch taucht dann im linken und im mittleren Teil auf. Unter dem mittleren Kreis kannst du nun den zweiten Bruch einstellen: Er zeigt dir, welchen Anteil du dir von dem ersten Bruch nimmst, dieser Anteil ist im mittleren Kreis blau markiert. Zähle einmal, in wie viele gepunktete Segmente der mittlere Kreis eingeteilt ist und zähle, wie viele davon blau markiert sind! Im rechten Kreis findest du dann das Ergebnis, also alle blau markierten Segmente zu einem zusammengefügt. Auch hier kannst du Zählen, wie viele gepunktete Segmente es insgesamt gibt, und wie viele davon blau markiert sind. Versuch einmal, das Beispiel im interaktiven Tool nachzustellen!

Hier geht es zum interaktiven Tool!

Eine andere Möglichkeit, sich die Multiplikation von Brüchen vorzustellen, ist im zweiten interaktiven Tool dargestellt. Dieses Mal geht es um die Frage, was bspw. \(\frac{3}{6} \cdot \frac{2}{5}\) ist. Stell dir vor, du hast ein Rechteck, bei dem du eine Seite in \(6\) gleichgroße Teile teilst und dir davon \(3\) nimmst, und die andere Seite in \(5\) gleichgroße Teile teilst und dir \(2\) davon nimmst. Stell dir nun vor, du betrachtest ein Rechteck, dessen Seitenlängen\(\frac{3}{6}\) bzw. \(\frac{2}{5}\) der Längen der ursprünglichen Seiten haben. Das Produkt ist dann der Anteil des Flächeninhalts des neuen Rechtecks an dem Alten. Aber wie groß ist dieser Anteil? Man Unterteilt das Rechteck in \(6 \cdot 5 = 30\) kleine Rechtecke. Das neue Rechteck besteht aus \(3 \cdot 2 = 6\) kleinen Rechtecken. Der gesuchte Anteil ist also \begin{align*}\frac{3}{6} \cdot \frac{2}{5}= \frac{3 \cdot 2}{6 \cdot 5} = \frac{6}{30}\end{align*}

Multi_Rechtecke
\(\frac{3}{6} \cdot \frac{2}{5}= \frac{6}{30}\)

Das ging dir zu schnell? Versuche, dieses Beispiel im interaktiven Tool nachzustellen: Unter dem ersten Rechteck kannst du den ersten Bruch einstellen, unter dem zweiten Rechteck den zweiten Bruch. An den Seiten zeigt dir der Graue Punkt jeweils an, wie groß der Anteil des Bruches von der jeweiligen Seite ist. Das violett markierte Rechteck ist nun das mit den „neuen“ Seiten. Der Anteil des Violett markierten Rechteckes ist nun das Produkt der beiden Brüche. Zähle einmal, wie viele kleine Rechtecke violett markiert sind, und wie viele kleine Rechtecke es insgesamt gibt? Was fällt dir auf?

Hier geht es zum interaktiven Tool!

Wenn du einen Bruch mit einer natürlichen Zahl multiplizieren willst, musst du diese als Bruch auffassen: \begin{align*}\frac{3}{4} \cdot 5 =\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{1} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 1}=\frac{15}{4}\end{align*}
Alternativ kannst du dir auch ins Gedächtnis rufen, was Multiplikation eigentlich bedeutet: Addiere die eine Zahl n Mal mit sich selbst, für das Beispiel von gerade hat man dann: \begin{align*}\frac{3}{4} \cdot 5 &= \frac{3}{4}+\frac{3}{4}+\frac{3}{4}+\frac{3}{4}+\frac{3}{4}\\&=\frac{3+3+3+3+3}{4}\\&=\frac{15}{4}\end{align*}

 


Genauso wie die Addition kann man die auch die Multiplikation für mehrere Brüche definieren. Der Zähler des Produktes ist dann das Produkt aller Zähler, der Nenner des Produktes ist das Produkt aller Nenner. Hier ein Beispiel:
\begin{align*}\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{15} \cdot \frac{20}{12} =\frac{3 \cdot 8 \cdot 20}{4 \cdot 15 \cdot 12} = \frac{480}{720},\end{align*}

was man mit \(240\) auf \(\frac{2}{3}\) kürzen kann.

Da man es bei der Multiplikation von Brüchen (vor allem wenn es sich um mehrere Brüche handelt) sehr schnell mit sehr hohen Zahlen zu tun bekommt, empfiehlt es sich, nicht erst am Schluss zu kürzen, sondern bereits während der Multiplikation.

Betrachten wir noch einmal das obige Beispiel: \(\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{15} \cdot \frac{20}{12}\). Es fällt auf, dass \(3\) sowohl ein Teiler von \(3\), als auch von \(15\) ist, es gilt \(3=3 \cdot 1\) und \(15=3 \cdot 5\). \(5\) ist sowohl ein Teiler von \(15\), als auch von \(20\), wir schreiben \(15=5 \cdot 3\) und \(20 = 5 \cdot 4\). Auch \(8\) und \(4\) (und \(12\)) haben mit \(4\) einen gemeinsamen Teiler. Wir können nun also statt \(3 \cdot 8 \cdot 20\) auch \(3 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 4\) schreiben und statt \(4 \cdot 15 \cdot 12\) auch \(4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3\), aus \(\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{15} \cdot \frac{20}{12}\) wird also \(\frac{3 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 4}{4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}\). Kürzt man nun identische Zahlen in Zähler und Nenner Schritt für Schritt weg (also \(3\),\(4\),\(4\) und \(5\)), bleibt man Ende einfach nur noch \(\frac{2}{3}\) übrig. Mit dieser Methode hat man es sowohl vermieden, große Zahlen zu multiplizieren, als auch, gemeinsame Teiler von großen Zahlen zu finden, also beides Sachen, die viel Rechenaufwand benötigen.
Wenn du das alles verstanden hast, sollten die folgenden Übungen für dich kein Problem mehr sein!

Übung

Berechne und kürze gegebenenfalls!

\begin{align*}
&a) &&\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5}\\
&b) &&\frac{5}{8} \cdot \frac{2}{15}\\
&c) &&\frac{3}{7} \cdot \frac{14}{9} \cdot \frac{6}{5}\\
&d) &&\frac{1}{100} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{4}{2}
\end{align*}



Lösung

\begin{align*}
&a) &&\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5}=\frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 5}=\frac{2}{15}\\
&b) &&\frac{5}{8} \cdot \frac{2}{15}=\frac{5 \cdot 2}{8 \cdot 15}=\frac{1 \cdot 1}{4 \cdot 3}=\frac{1}{12}\\
&c) &&\frac{3}{7} \cdot \frac{14}{9} \cdot \frac{6}{5}=\frac{3 \cdot 14 \cdot 6}{7 \cdot 9 \cdot 5}=\frac{1 \cdot 2 \cdot 6}{1 \cdot 3 \cdot 5}=\frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 5}=\frac{4}{5}\\
&d) &&\frac{1}{100} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{4}{2}=\frac{1 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 4}{100 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 2}=\frac{1 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 1}{20 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 2}=\frac{1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 2}=\frac{1}{24}
\end{align*}

 

Welche dieser Brüche sind natürliche Zahlen?

\begin{align*}
&a) &&\frac{10}{3} \cdot \frac{6}{5}\\
&b) &&\frac{12}{7} \cdot \frac{14}{18}\\
&c) &&\frac{5}{39} \cdot \frac{13}{4} \cdot \frac{24}{25}\\
&d) &&\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6} \cdot 6
\end{align*}



Lösung

\begin{align*}
&a) &&\frac{10}{3} \cdot \frac{6}{5}=\frac{10 \cdot 6}{3 \cdot 5}=\frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 1}=4 \in \mathbb{N}\\
&b) &&\frac{12}{7} \cdot \frac{14}{18}=\frac{12 \cdot 14}{7 \cdot 18}=\frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3}=\frac{4}{3} \notin \mathbb{N}\\
&c) &&\frac{5}{39} \cdot \frac{13}{4} \cdot \frac{24}{25}=\frac{5 \cdot 13 \cdot 24}{39 \cdot 4 \cdot 25}==\frac{1 \cdot 1 \cdot 6}{3 \cdot 1 \cdot 5}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5} \notin \mathbb{N}\\
&d) &&\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6} \cdot 6=\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 1}=1 \in \mathbb{N}
\end{align*}

 

Addiere/Subtrahiere erst, multipliziere dann!

\begin{align*}
&a) &&(\frac{2}{5}+\frac{1}{10}) \cdot \frac{2}{3}\\
&b) &&(3-\frac{3}{7}) \cdot \frac{14}{9}\\
&c) &&(1+\frac{1}{3}) \cdot (\frac{3}{5}-\frac{1}{10})
\end{align*}

 

Lösung

\begin{align*}
&a) &&(\frac{2}{5}+\frac{1}{10}) \cdot \frac{2}{3}=(\frac{4}{10}+\frac{1}{10}) \cdot \frac{2}{3}=\frac{5}{10} \cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}=\frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 3}=\frac{1}{3}\\
&b) &&(3-\frac{3}{7}) \cdot \frac{14}{9}=(\frac{21}{7}-\frac{3}{7}) \cdot \frac{14}{9}=\frac{18}{7} \cdot \frac{14}{9}=\frac{18 \cdot 14}{7 \cdot 9}=\frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 1}=4\\
&c) &&(1+\frac{1}{3}) \cdot (\frac{3}{5}-\frac{1}{10})=(\frac{3}{3}+\frac{1}{3}) \cdot (\frac{6}{10}-\frac{1}{10})=\frac{4}{3} \cdot \frac{5}{10}=\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2}=\frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 2}=\frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1}=\frac{2}{3}
\end{align*}

 

Nachdem du in diesem Kapitel gelernt hast, wie man Brüche multipliziert, erfährst du dann im nächsten Kapitel, wie man Brüche dividieren kann.