Im Kapitel „Stellenwertsysteme“ hast du gelernt, dass man natürliche Zahlen mit Hilfe von Stellenwertsystemen darstellen kann. Die Zahl \(1532\) liest man dann beispielsweise als \begin{align*}1532 = 2 \cdot 1+3 \cdot 10+5 \cdot 100+1 \cdot 1000. \end{align*}
Wenn man Bruchzahlen durch Stellenwertsysteme darstellen will, benötigt man Dezimalzahlen. Die Idee ist dabei die folgende: so, wie man den Zehnern, Hundertern, Tausender usw. eine Stelle zuordnet, kann man auch den Zehnteln, den Hundertsteln und den Tausendsteln eine Stelle zuordnen. Zahlen in dieser Darstellung werden Dezimalzahlen genannt. Die Stelle in der Dezimaldarstellung, die sagt, ab wann die Zehntel, Hundertstel, etc. anfangen, wird mit einem Komma markiert, daher spricht man bei Dezimalzahlen auch (etwas salopp) von Kommazahlen. Die Zahl \(103,14\) bedeutet also \begin{align*}103,14 = 1 \cdot 100+0 \cdot 10+3 \cdot 1+1 \cdot \frac{1}{10} + 4 \cdot \frac{1}{100} = 103 \frac{14}{100}=\frac{10314}{100}.\end{align*}
Die Zahl \(0,2022\) bedeutet \begin{align*}0,2022 = 0 \cdot 1+2 \cdot \frac{1}{10}+0 \cdot \frac{1}{100}+2 \cdot \frac{1}{1000}+2 \cdot \frac{1}{10000} = \frac{2022}{10000}.\end{align*}
Der Teil einer Dezimalzahl vor dem Komma wird der ganzzahlige Anteil genannt, der Teil hinter dem Komma wird gebrochener Teil genannt. Diese Unterscheidung zwischen einem ganzen und einem gebrochenen Teil kennst du bereits durch den Umgang mit unechten Brüchen! Die Ziffern, die den ganzzahligen Teil beschreiben (also die Zahlen vor dem Komma), heißen Vorkommastellen, und jene, die den gebrochenen Teil beschreiben, heißen Nachkommastellen.

Die Einteilung eines Gegenstandes oder einer Einheit in Zehntel, Hundertstel, etc. kennst du bereits von vielen Dingen im täglichen Leben: Ein Meter ist in \(10\) Dezimeter, in \(100\) Zentimeter und in \(1000\) Millimeter eingeteilt, also ist \(1 dm = \frac{1}{10} m\), \(1 cm = \frac{1}{100} m\) und \(1mm=\frac{1}{1000}m\). \(236\) Zentimeter sind entsprechend \(2,36\) Meter, \(43\) Millimeter sind \(0,0043\) Meter und so weiter. Ein Euro ist in \(100\) Cents aufgeteilt, also sind \(35\) Cent nichts weiter als \(0,35\) Euro.

MetallmaßstabEinteilung in Dezimalzahlen
Quelle: Wikipedia

Häufig ist es so, dass man sich nur für eine bestimmte Anzahl an Nachkommastellen interessiert, da weit rechts stehende Nachkommastellen auf die Größe der Dezimalzahl wenig Einfluss haben (bei der Zahl \(12,3459\) steht die \(5\) für Tausendstel und die \(9\) für Zehntausendstel). Deswegen ist man an der Dezimalzahl mit einer gegebenen Anzahl an Nachkommastellen interessiert, die so nah wie möglich an der gegebenen Dezimalzahl dran ist. Dieses Vorgehen nennt man Runden: Wenn z.B. \(12,3459\) auf die dritte Stelle nach dem Komma gerundet werden soll, heißt das, man sucht nach derjenigen Dezimalzahl mit \(3\) Nachkommastellen, die sich von \(12,3459\) am wenigsten unterscheidet. Dies wird die Zahl \(12,346\) sein (\(12,345\) kann es nicht sein, da die Ziffer \(9\) dafür sorgt, dass die Zahl \(12,3459\) näher an \(12,346\) liegt), man schreibt \(12,3459 \approx 12,346\). Man kann sich merken: will man auf die \(n\)-te Nachkommastelle runden, so betrachtet man die \(n+1\)-te Nachkommastelle: ist diese kleiner als \(5\), so bleibt die \(n\)-te Nachkommastelle ab und man „schneidet“ alle weiteren Nachkommastellen ab der \(n\)-ten Stelle ab; ist die \(n+1\)-te Nachkommastelle größer als \(5\) (wie im obigen Beispiel), so erhöht sich die \(n\)-te Nachkommastelle um \(1\) und anschließend schneidet man auch hier alle weiteren Nachkommastellen ab. Wenn die Nachkommastelle, auf die gerundet wird, bereits eine Null ist, kann man diese auch weglassen, bspw. ist \(13,001\) auf zwei Stellen gerundet: \(13,101 \approx 13,10 = 13,1\)

Die Zahlen \(\frac{1}{10} = 0,1; \frac{1}{100} = 0,01; \frac{1}{1000}=0,0001\) etc. werden „negative Zehnerpotenzen“ genannt (Achtung: diese Zahlen sind natürlich nicht negativ im Sinne der ganzen Zahlen! Gemeint sind hier negative Exponenten, z.B. kann man \(0,001\) als \(10^{-3}\) schreiben. Der negative Exponent ist dabei die Anzahl der Stellen hinter dem Komma. Mehr dazu erfährst du im Kapitel „Potenzrechengesetze“). Das Multiplizieren von (positiven wie negativen) Zehnerpotenzen mit Dezimalzahlen ist vergleichsweise einfach: man verschiebt dabei das Komma um die Größe des Exponenten nach links oder nach rechts; ist der Exponent positiv, wird das Komma nach rechts geschoben, andernfalls nach links: \(13,65 \cdot 100 =136,5\), \(2530,002 \cdot 0,01=25,30002\). Bei der Division von Dezimalzahlen und Zehnerpotenzen geschieht alles genau andersherum: hier verschiebt sich das Komma um die Größe des Exponenten nach links, wenn er positiv ist, und nach rechts, wenn er negativ ist: \(905,5 \div 100=9,055\); \(30,5042 \div 0,01=30504,2\). Sollte man das Komma scheinbar nicht verschieben können, kann man sich eine Reihe von Nullen links vom ganzen bzw. rechts vom gebrochenen Teil dazudenken, sie verändern die Zahl ja nicht. Zum Beispiel ist \begin{align*}34,7 \cdot 0,0001 = 000000034,7 \cdot 0,001 = 0,00347,\end{align*} \begin{align*}34,7 \div 0,0001=34,7000000 \div 0,0001=347 000\end{align*} oder auch \begin{align*}28 \cdot 100=28,0000000 \cdot 100=2800,00000=2800.\end{align*}
Man kann bei einer abbrechenden Dezimalzahl offenbar (durch Kommaverschiebung) immer eine ganze Zahl und eine negative Zehnerpotenz finden, die zusammen multipliziert die gegebene Dezimalzahl ergeben. Die gesuchte ganze Zahl kann man von der Dezimalzahl sogar einfach ablesen. Auf diese Weise ist es sehr leicht, Dezimalzahlen in Brüche umzuwandeln; wir haben zum Beispiel: \begin{align*}0,45=45 \cdot 0,01 = 45 \cdot \frac{1}{100}=\frac{45}{100} = \frac{9}{20},\end{align*} oder
\begin{align*}5,55=555 \cdot 0,01=555 \cdot \frac{1}{100}= \frac{555}{100}=\frac{111}{20}\end{align*}
Wenn du das verstanden hast, ist wird es dir leichtfallen, abbrechende Dezimalzahlen (das sind solche, die nur endlich viele Stellen nach dem Komma haben; es gibt aber auch Dezimalzahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen, diese werden dir später noch begegnen) in Brüche umzuwandeln; der umgekehrte Weg, das Umrechnen von Brüchen in Dezimalzahlen ist dagegen etwas schwieriger. Dies wird im nächsten Kapitel erklärt. Zunächst aber ein paar Übungen, damit du dein bisheriges Wissen vertiefen kannst.

Übung

Berechne!

\begin{align*}
&a) &&3,6 \cdot 10\\
&b) &&3,6 \div 10\\
&c) &&30,06 \div 1000\\
&d) &&15,273273 \cdot 0,001\\
&e) &&0,00043 \div 0,001
\end{align*}

Lösung

\begin{align*}
&a) &&3,6 \cdot 10=36\\
&b) &&3,6 \div 10=0,36\\
&c) &&30,06 \div 1000=0,03006\\
&d) &&15,273273 \cdot 0,001=0,015273273\\
&e) &&0,00043 \div 0,001=0,43
\end{align*}

Runde...
\begin{align*}
&a) && 0,645\ auf\ eine\ Stelle\ nach\ dem\ Komma!\\
&b) && 0,645\ auf\ zwei\ Stellen\ nach\ dem\ Komma!\\
&c) && 1,004\ auf\ eine\ Stelle\ nach\ dem\ Komma!
\end{align*}

Lösung

\begin{align*}
&a) && 0,645 \approx 0,6 \\
&b) && 0,645 \approx 0,65 \\
&c) && 1,004 \approx 1,0=1 \\
\end{align*}

Schreibe als Bruch und kürze gegebenenfalls!

\begin{align*}
&a) &&0,34\\
&b) &&0,555\\
&c) &&1,25\\
&d) &&5,000001
\end{align*}

Lösung

\begin{align*}
&a) &&0,34=\frac{34}{100}=\frac{17}{50}\\
&b) &&0,555=\frac{555}{1000}=\frac{111}{200}\\
&c) &&1,25=\frac{125}{100}=\frac{5}{4}\\
&d) &&5,000001=\frac{5000001}{1000000}
\end{align*}