Für die Umwandlung von Brüchen in Dezimalzahlen betrachten wir zunächst Brüche, deren Nenner Teiler von Zehnerpotenzen sind, wie beispielsweise \(40\) (denn \(40 \cdot 25=1000\)), \(2\) (denn \(2 \cdot 5=10\)) oder \(25\) (denn \(25 \cdot4 = 100\)); dies sind genau die Zahlen, deren Primfaktorzerlegung nur aus \(2\) und \(5\) bestehen (frag dich mal, warum das so ist!). Bei solchen Brüchen ist eine Umwandlung in Dezimalzahldarstellung sehr einfach: Man erweitert die Zahl so, dass der Nenner eine Zehnerpotenz ist, danach kann man die Dezimalzahl einfach „hinschreiben“. Beispielsweise rechnet man für \(\frac{97}{4}\): \begin{align*}\frac{97}{4}= \frac{97 \cdot 25}{4 \cdot 25}=\frac{2425}{100}=24,25 \end{align*}
Aber was ist mit Brüchen, deren Nenner nicht diese Eigenschaft haben, wie beispielsweise \(\frac{2}{3}\), \(\frac{16}{9}\) oder \(\frac{4}{7}\)? Um diese Brüche darzustellen, muss man sich zunächst ins Gedächtnis rufen, dass ein Bruch nichts Anderes ist, als eine Division ganzer Zahlen. Wenn man das verinnerlicht hat, kann man die Division (wir bleiben zunächst bei dem Beispiel \(\frac{97}{4}\)) schriftlich durchführen. Das einzig neue daran ist, dass man den Dividenden (also das, was bei dem Bruch der Zähler war,) als Dezimalzahl mit einer genügend langen Reihe von Nullen auffasst: statt \(97\) schreibt man nun \(97,000000000.\) Wie lang die Reihe von Nullen sein soll, ist dabei unerheblich, solange sie lang genug ist; Tatsächlich reicht es für alle Zwecke aus, wenn sie mindestens so lang ist wie der Nenner. Danach führt man eine schriftliche Division aus, und beachtet, dass, sobald man das Komma im Dividenden „überschritten“ hat, man das gleiche auch beim Quotienten tun muss. In folgender Animation ist die Division von \(97\) und \(4\) durchgeführt:

siebenundneunzigdurchvier

Wenn man nun bspw. den Bruch \(\frac{4}{7}\) betrachten will, geht man genauso vor; Man schreibt \(\frac{4}{7}\) als \(4 \div 7\) und rechnet aus:vierdurchsiebenEs fällt auf, dass nach sieben Stellen die Zahl \(40\) wieder durch \(7\) geteilt werden muss, und sich die Division von dort an genauso bis ins Unendliche wiederholt, die Dezimaldarstellung von \(\frac{4}{7}\) ist also \(0,51428571428571428…\). Dieses Phänomen nennt man Periodizität und tritt bei allen Brüchen auf, deren Dezimaldarstellung nicht abbricht (strenggenommen könnte man auch \(0,2\) oder andere abbrechende Dezimalzahlen als periodisch auffassen: \(0,2\) ist das gleiche wie \(0,2000000…\) die Nullen am Ende „wiederholen“ sich ja auch). Die Anzahl der sich wiederholenden Ziffern heißt Periodenlänge der Dezimalzahl und kann höchstens so groß sein wie der Nenner des Bruches. Da man natürlich nicht unendlich viele Ziffern aufschreiben kann, notiert man periodische Dezimalzahlen, indem man einen Strich über die Ziffernfolge, die sich unendlich wiederholt, schreibt. Man spricht die Zahlen dann bis zu dem Teil, der sich nicht wiederholt aus gefolgt von dem Wort „Periode“ und den Ziffern, die in der Periode stehen. In unserem Beispiel schreibt man also \(\frac{4}{7}=0,\overline{5142857}\), und sagt dazu „\(0\) Komma Periode \(5142857\)“. \(\frac{13}{15}\) schreibt man als \(\frac{13}{15} = 0,86\) und sagt dazu „\(0\) Komma \(8\) Periode \(6\)“. Wichtig ist, dass das Wort „Periode“ vor der Periode der Ziffern kommt, da ansonsten Missverständnisse auftreten können: Wenn man „Null Komma \(8\) \(6\) Periode“ sagen würde, wüsste man nicht, ob \(0,8686868686…\) oder \(0,8666666666…\) gemeint ist.

periodEin Periodischer Dezimalbruch

In dem nächsten Kapitel erfährst du dann, wie man periodische Dezimalzahlen in Brüche umwandeln kann, und was es mit nichtabbrechenden Dezimalzahlen auf sich hat. Aber vorher noch ein paar kleine Übungen.

Übung

Wandle die Brüche in Dezimalzahlen um!

\begin{align*}
&a) &&\frac{1}{2}\\
&b) &&\frac{17}{5}\\
&c) &&\frac{81}{40}\\
&d) &&\frac{43}{18}\\
&e) &&\frac{2}{13}
\end{align*}

 

 

Lösung

\begin{align*}
&a) &&\frac{1}{2}=\frac{5}{10}=0,5\\
&b) &&\frac{17}{5}=\frac{34}{10}=3,4\\
&c) &&\frac{81}{40}=\frac{2025}{1000}=20,25\\
&d) &&\frac{43}{18}=2,3\overline{8}\\
&e) &&\frac{2}{13}=0,\overline{153846}
\end{align*}