Wenn man vorgegebene periodische Dezimalzahlen in Brüche umwandeln will, muss zunächst man die Kehrwerte von \(9\), \(99\), \(999\), \(9999\) usw. betrachten. Es ist eine gute Übung, diese Zahlen einmal mit schriftlicher Division auszurechnen. Wir haben:

\begin{align*}
\frac{1}{9} & = 0,11111... && =0 , \overline{1}\\
\frac{1}{99} & = 0,010101... && =0 , \overline{01}\\
\frac{1}{999} & = 0,001001001... && = 0 , \overline{001}
\end{align*}

 

Diese Dezimalzahlen sind sozusagen die Prototypen von periodischen Dezimalzahlen: hat man beispielsweise  \(0,\overline{301}=0,301301301301…\), so kann man die Zahl auch schreiben als
\begin{align*}
0,301301301301…  &=301 \cdot 0,001001001001 \\
&= 301 \cdot \frac{1}{999} \\ &=  \frac{301}{999}.
\end{align*}
\(0,\overline{5}=0,5555555…\) kann man schreiben als
\begin{align*}0,55555...&=  5 \cdot  0,111111...  \\ &= 5 \cdot \frac{1}{9}  \\ &= \frac{5}{9}. \end{align*}


Zahlen, deren Periode direkt nach dem Komma anfängt, nennt man rein periodisch. Will man periodische Zahlen in Brüche umwandeln, deren Periode nicht sofort beginnt, wie zum Beispiel \(0,41\overline{6}=0,4166666...\), so geht man wie folgt vor: zunächst teilt man die Zahl in einen abbrechenden und einen periodischen Teil auf: \begin{align*}0,416=0,41+0,00\overline{6}.\end{align*}
\(0,41\) ist, wie du in vorigen Kapiteln gelernt hast, das gleiche wie \(\frac{41}{100}\). Bei \(0,00\overline{6}\) schreibt man als Produkt aus einer Zehnerpotenz und einer rein periodischen Dezimalzahl, hier also: \(0,00\overline{6}=0,01 \cdot 0,\overline{6}.\)
\(0,\overline{6}\) kann man nach obiger Überlegung als \begin{align*}0,\overline{6}=6 \cdot 0,\overline{1} = 6 \cdot \frac{1}{9} = \frac{6}{9}= \frac{2}{3}\end{align*} auffassen. Wir haben also insgesamt:

\begin{align*}
0,41\overline{6} &= 0,41+0,00\overline{6} \\
&=\frac{41}{100}+0,01 \cdot 0,\overline{6} \\
&=\frac{41}{100}+\frac{1}{100} \cdot \frac{2}{3} \\
&=\frac{41}{100}+\frac{2}{300} \\
&=\frac{123}{300}+\frac{2}{300} \\
&=\frac{125}{300} \\
&=\frac{5}{12}
\end{align*}

 

 

 

Ein weiteres Beispiel: \(2,5\overline{27}\) soll in einen Bruch umgewandelt werden, man rechnet:
\begin{align*}2,5\overline{27} &= 2,5+0,0\overline{27} \\
&=\frac{25}{10}+0,0\overline{27} \\
&=\frac{5}{2}+0,1 \cdot 0,\overline{27} \\
&=\frac{5}{2}+\frac{1}{10} \cdot \frac{27}{99} \\
&=\frac{5}{2} +\frac{1}{10} \cdot \frac{3}{11}\\
&=\frac{5}{2}+\frac{3}{110} \\
&=\frac{275}{110}+\frac{3}{110} \\
&=\frac{278}{110} \\
&=\frac{139}{55}.
\end{align*}