Nachdem du in den letzten Abschnitten gelernt hast, was Dezimalzahlen sind, soll es hier nun darum gehen wie man mit ihnen rechnet. Eines vorweg: wer verstanden hat, was Dezimalzahlen sind, und eventuell auch weiß, wie man sie in Brüche umwandelt, weiß auch, wie man mit ihnen rechnen kann, da sich das Rechnen mit Dezimalzahlen nur unwesentlich vom Rechnen mit natürlichen Zahlen im Zehnersystem unterscheidet.

Zunächst zur Addition (und auch zur Subtraktion, das ist Prinzip ist dabei genau das gleiche): Bei der schriftlichen Addition von Dezimalzahlen ist darauf zu achten, dass die Kommata (ja, das ist der korrekte Plural von Komma!), übereinanderstehen. Das liegt daran, dass die schriftliche Addition ja genau deswegen funktioniert, weil Einer und Einer, Zehner und Zehner, Hunderter und Hunderter usw., und nun eben auch Zehntel und Zehntel usw. addiert werden. Würden die Kommata nun nicht übereinanderstehen (zum Beispiel um eine Stelle versetzt), so würden bei der schriftlichen Addition Zehner und Einer, Hunderter und Zehner usw. addiert werden. Wie so häufig beim Umgang mit Dezimalzahlen kann es auch hier hilfreich sein, links und rechts fehlende Nullen (die Zahl ja nicht ändern) zu ergänzen. Der Rest funktioniert genauso wie bei der (schriftlichen) Addition natürlicher Zahlen. Wir wollen zum Beispiel \(1384,002\) und \(31,4\) schriftlich addieren, wir rechnen:

tausendplus30

Wenn man zwei periodische Dezimalzahlen addieren will, muss man, nachdem man die Kommata übereinandergeschrieben hat, zunächst die letzte Stelle der gemeinsamen Periode finden, das ist die früheste Stelle, hinter der sich beide Dezimalzahlen das erstmals gemeinsam wiederholen. Wir wollen uns im Folgenden dem Beispiel \(34,\overline{969} + 0,5\overline{78}\) zuwenden: wenn wir die beiden Zahlen untereinander schreiben, fällt auf, dass sich sich die Ziffern ab der 8. Nachkommastelle paarweise alle 6 Stellen wiederholen, wobei die gemeinsame Periode der ersten Zahl mit \(6\) und die der anderen Zahl mit \(7\) beginnt. Nun beginnt man ab der Stelle links daneben die schriftliche Addition und rechnet ganz gewohnt Summe aus. Die weiteren Zahlen der gemeinsamen Periode ergänzt man im Anschluss.

dezimalplus2

Insbesondere dann, wenn das Ergebnis ein Bruch sein soll, gibt es auch eine weitere Möglichkeit, die Summe zweier periodischer Dezimalzahlen zu bestimmen. Sie besteht darin, die Dezimalzahlen zunächst in Brüche umzuwandeln und anschließend die Brüche zu addieren. Für das obige Beispiel hätten wir:
\begin{align*}
34, \overline{969} &= 34+ \frac{969}{999}&&=34+ \frac{323}{333} &&= \frac{11645}{333} \\
0,5 \overline{78} &= \frac{5}{10}+\frac{78}{990} &&= \frac{573}{990} &&= \frac{191}{330}
\end{align*}
Daher gilt
\begin{align*}
34, \overline{969} + 0,5 \overline{78} &= \frac{191}{330}+\frac{11645}{333} \\&= \frac{21201}{36630}+\frac{1280950}{36630} \\ &= \frac{1302151}{36630}\end{align*}

 

Wer sehr gut darin ist, schriftlich zu dividieren, wird feststellen, dass wenn man \(\frac{1302151}{36630}\) in eine Periodische Dezimalzahl umwandelt, genau das Ergebnis von oben herauskommt.

Die Multiplikation von Dezimalzahlen verläuft im Prinzip genauso wie die Multiplikation von natürlichen Zahlen. Zunächst schreibt man die Zahlen als Brüche, multipliziert sie dann (Die Multiplikation der Nenner ist besonders einfach, da es sich hierbei um Zehnerpotenzen handelt) und stellt das Ergebnis wieder als Dezimalzahl dar. Will man zum Beispiel \(0,52 \cdot 73,7\) rechnen, so hat man:
\begin{align*}0,52 \cdot 73,7 &=\frac{52}{100} \cdot \frac{737}{10}\\ &=\frac{52 \cdot 737}{100 \cdot 10} \\ &=\frac{38324}{1000} \\ &=38,324.\end{align*}

 


An diesem Beispiel (und an allen anderen Beispielen auch) kann man folgende einfach Merkregel feststellen: Zur Multiplikation zweier Dezimalzahlen ignoriert man zunächst die Kommata und rechnet so, als würde man zwei natürliche Zahlen multiplizieren. Das Komma muss anschließend so gesetzt werden, dass Produkt genauso viele Nachkommastellen hat, wie beide Faktoren zusammen.

Ähnlich geht man bei der Division von Dezimalzahlen vor: Man wandelt zunächst die Dezimalzahlen in Brüche um, führt dann eine (ggf. schriftliche) Division durch, und wandelt dann das Ganze mit einer geeigneten Kommaverschiebung in eine Dezimalzahl um. Wenn man zum Beispiel 54,9}{0,07 ausrechnen will, geht man wie folgt vor:
\begin{align*}\frac{54,9}{0,07} &=\frac{549}{10} \div \frac{7}{100} \\&= \frac{549}{10} \cdot \frac{100}{7} \\&=\frac{549}{7} \cdot \frac{100}{10}  \\&= \frac{549}{7} \cdot 10.\end{align*}

 

 

Mit schriftlicher Division erhält man: \(549 \div 7 = 78,\overline{428571}\)

Multipliziert man das Ganze noch mit \(10\), so erhält man:
\begin{align*}54,9 \div 0,07=784,\overline{285714}\end{align*}