Die Frage, was natürliche Zahlen sind, ist noch gar nicht so alt, im Vergleich dazu, dass mit ihnen schon seit Tausenden von Jahren gezählt und gerechnet wird. Vielen Mathematikern war diese Frage auch egal, der Mathematiker Leopold Kronecker soll im 19. Jahrhundert gesagt haben: „die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk!“. Erst der Italiener Giuseppe Peano (1858-1932) formulierte 1889 seine „Peano-Axiome“ genannten Grundsätze, die die natürlichen Zahlen eindeutig beschreiben. Um sie zu verstehen, ist es hilfreich, wenn du zunächst alles (und zwar wirklich alles!), was du über natürliche Zahlen weißt, zu vergessen. Du weißt dann nicht, dass \(2+2=4\) ist oder, dass „\(0\)“ und „\(1\)“ verschiedene zahlen sind, denn du weißt nicht einmal, dass es überhaupt so etwas wie eine „\(1\)“ gibt! All diese Aussagen sind dann Dinge, die aus den Peano-Axiomen folgen. In heutiger Formulierung lauten sie:

(a) Es gibt genau eine natürliche Zahl namens „\(0\)“.

(b) Zu jeder natürlichen Zahl gibt es genau eine natürliche Zahl, die „der Nachfolger“ dieser Zahl genannt wird.

(c) Wenn zwei natürliche Zahlen den gleichen Nachfolger haben, so sind sie gleich. Das bedeutet insbesondere, dass wenn eine Zahl, die eine gegebene Zahl als Nachfolger hat, eindeutig bestimmt ist. Diese Zahl wird dann „der Vorgänger“ der gegebenen Zahl genannt.

(d) Es gibt keine natürliche Zahl, deren Nachfolger „\(0\)“ ist. „\(0\)“ hat also keinen Vorgänger.

(e) Wenn eine Menge von natürlichen Zahlen die „\(0\)“, und mit jeder Zahl auch ihren Nachfolger enthält, sind das bereits alle natürlichen Zahlen.

Mit diesen Axiomen kann man die natürlichen Zahlen dann wie folgt definieren:
„\(0\)“ ist definiert dadurch, dass sie nach Axiom (a) existiert.
„\(1\)“ ist der (eindeutig bestimmte, siehe Axiom (b)) Nachfolger von „\(0\)“. Wir müssen nun beweisen, dass „\(1\)“ nicht in Wirklichkeit die gleiche Zahl wie „\(0\)“ ist (dass sie einen anderen Namen hat, ist hier nicht entscheidend: „\(1\)“, one oder I (römisch) sind ja auch unterschiedliche Bezeichnungen für die gleiche Zahl.) Wir nehmen an, dass „\(1\)“ gleich „\(0\)“ ist. Dann ist „\(0\)“ (das ja angeblich das gleiche ist wie „\(1\)“) der Nachfolger von „\(0\)“. Das kann aber nicht sein, siehe Axiom (d). Da die Annahme, dass „\(1\)“ das gleiche ist wie „\(0\)“, zu Widersprüchen führt, muss „\(1\)“ etwas Anderes als „\(0\)“ sein. Eine neue Zahl wurde geboren!

„\(2\)“ ist nun der Nachfolger von „\(1\)“. Das gleiche Argument wie oben stellt sicher, dass „\(2\)“ nicht das gleiche ist wie „\(0\)“. Wir wollen nun zeigen, dass „\(2\)“ auch nicht das Gleiche ist wie „\(1\)“: Wir nehmen an, „\(2\)“ wäre das Gleiche wie „\(1\)“. Dann hat „\(0\)“ den Nachfolger „\(2\)“ (das ja angeblich das gleiche ist wie „\(1\)“). „\(1\)“ hat ebenfalls den Nachfolger „\(2\)“, also müssen „\(1\)“ und „\(0\)“ gleich sein (Axiom (c)). Widerspruch! Die Annahme, dass „\(1\)“ gleich „\(2\)“ ist, ist also auch falsch, also ist „\(2\)“ etwas Anderes als „\(0\)“ oder „\(1\)“. Schon wieder haben wir eine neue Zahl!
„\(3\)“ wird nun als der Nachfolger von „\(2\)“ definiert. Kannst du, allein mit Hilfe der Axiome, beweisen, dass „\(3\)“ eine andere Zahl als „\(0\)“, „\(1\)“ oder „\(2\)“ ist? Was wäre, wenn „\(3\)“ gleich „\(0\)“ wäre? Was wäre, wenn „\(3\)“ gleich „\(1\)“ wäre? Was, wenn „\(3\)“ gleich „\(2\)“ wäre? Wenn du das verstanden hast, wird es dir möglich sein, zweifelsfrei zu definieren, was „\(4\)“, „\(5\)“, „\(6\)“, und so weiter sein sollen.

Bisher hatten wir für die Eindeutigkeit der natürlichen Zahlen nur die Axiome (a) bis (d) benutzt, aber wofür braucht man das Axiom (e)? Axiom (e), dass sog. Axiom der Induktion, stellt sicher, dass es sich bei den oben konstruierten Zahlen um die „kleinste Menge“ von Zahlen handelt, welche die Axiome (a)-(d) erfüllen. Stell dir einmal vor, die natürlichen Zahlen bestünden aus den oben konstruierten Zahlen „\(0\)“, „\(1\)“, „\(2\)“, ...und so weiter, sowie den „Zahlen“ „\(TISCH\)“ und „\(STUHL\)“. Der Nachfolger von „\(TISCH\)“ sei dabei „\(STUHL\)“ und der Nachfolger von „\(STUHL\)“ sei „\(TISCH\)“. Die bisherigen Axiome schließen die Existenz von „Zahlen“ wie „\(TISCH\)“ und „\(STUHL\)“ nun leider nicht aus. Axiom (e) besagt, dass wenn eine Menge von natürlichen Zahlen die Zahl „\(0\)“ enthält, und mit einer Zahl auch ihren Nachfolger, diese Menge bereits aus allen Zahlen besteht. In unserem Beispiel enthält die Menge „\(0\)“, „\(1\)“, „\(2\)“ und so weiter (ohne „\(TISCH\)“ und „\(STUHL\)“) die Zahl „\(0\)“ und mit jeder Zahl auch ihren Nachfolger. Das heißt nach aber (e), dass es sich bereits um alle natürlichen Zahlen handelt, und „\(TISCH\)“ und „\(STUHL\)“ also in Wirklichkeit nicht existieren.

Das Axiom (e) braucht man auch für die eine wichtige (in gewisser Hinsicht auch für die einzige) Beweismethode für die natürlichen Zahlen, der vollständigen Induktion. Bei der Vollständigen Induktion geht man wie folgt vor: Man will eine Aussage für die natürlichen Zahlen beweisen. Die Menge der Zahlen, für die diese Aussage gilt nennt man \(M\). Man beweist dann zwei Dinge: Erstens, beweist man, dass \(0\) in \(M\) liegt. Danach beweist man, dass wenn eine Zahl \(n\) in M liegt, auch der Nachfolger in \(M\) liegen muss. Das Axiom (e) garantiert dann, dass \(M\) bereits alle natürlichen Zahlen enthält! Das heißt, die zu beweisende Aussage gilt für alle natürlichen Zahlen.

Das hört sich am Anfang erst einmal fürchterlich kompliziert an, aber wenn du wirklich versuchst, den Argumenten zu folgen, wirst du sie am Ende auch verstehen und begreifen, wie logisch und elegant all das ist, versprochen!

Im Anschluss hieran kann man natürlich viele weitere interessante Fragen stellen, die aber allesamt etwas zu weit gehen würden, z.B.:

-wir wissen nun, welche Eigenschaften eine Menge erfüllen muss, um „Menge der natürlichen Zahlen genannt zu werden; gibt es dann aber im Wesentlichen nur eine Menge, die diese Eigenschaft erfüllt? „Im Wesentlichen“ heißt hierbei, dass die Elemente zweier Mengen, die die Peano-Axiome erfüllen, in Wirklichkeit nur unterschiedliche Bezeichnungen haben, wie z.B. „\(0\)“, „\(1\)“, „\(2\)“,… und „\(zero\), \(one\), \(two\),…“. Die Antwort ist ja, dies wurde von Dedekind in seiner Arbeit „was sind und was sollen Zahlen?“ bewiesen.

-existiert überhaupt eine Menge, die die Peano-Axiome erfüllt? Bisher haben wir uns nur damit beschäftigt zu klären, was wir unter natürlichen Zahlen verstehen, wir haben dabei nicht ausgeschlossen, dass sie vielleicht gar nicht existieren können. John von Neumann präsentierte Anfang des 20. Jahrhunderts ein Modell der Natürlichen Zahlen, das heute als das Standardmodell gilt und nur mit der leeren Menge und der Teilmengenrelation auskommt.

-Sind die Peano-Axiome widerspruchsfrei? Überraschenderweise lautet hier die Antwort: „Das kann man nicht beweisen.“ Dies ist eine Konsequenz aus dem sog. Gödelschen Unvollständigkeitssatz, der besagt, dass überhaupt kein System von Axiomen, das einigermaßen komplex ist, seine eigene Widerspruchsfreiheit beweisen kann.

Doch wie kann man mit natürlichen Zahlen rechnen? Dies wird dir in den nächsten Artikeln, die auch längst nicht mehr so theoretisch sein werden, erklärt.