Die Addition (lat. addere: hinzufügen) ist die erste der vier Grundrechenarten (die anderen sind die Subtraktion, die Multiplikation und die Division). Man kann sich die Addition so vorstellen: Man betrachtet zwei Beutel, die mit irgendwelchen Dingen gefüllt sind (statt Beutel kann man sich auch Haufen, Stapel, oder Ähnliches vorstellen, was zählt, ist, dass man sich die Dinge dabei zu einem Ganzen zusammengefasst vorstellt). Die Anzahl dieser Dinge kann mit natürlichen Zahlen beschrieben werden. Die Addition zweier natürlicher Zahlen beschreibt nun, wie sich die Anzahl der Dinge in dem einen Beutel ändert, wenn man den Inhalt des anderen Beutels hinzufügt.

Die beiden Zahlen, die addiert werden, nennt man Summanden, die Anzahl der Objekte des einen Beutels nach dem Hinzufügen, also das Ergebnis der Addition, nennt man Summe. Um eine Addition zu markieren, benutzt man das Zeichen „\(+\)“. Es gilt also: Summand+Summand=Summe.

Beispiele: In einem Eierkarton sind \(3\) Eier, in einem anderen sind \(5\) Eier. Fügt man die Eier aus dem einen Karton dem Andren hinzu, so befinden sich in dem neuen Karton insgesam \(3+5=8\) Eier. In einer Streichholzschachtel befinden sich \(25\) Streichhölzer, auf dem Tisch liegen \(7\). Wenn man die Streichholzschachtel auf dem Tisch ausschüttet, befinden sich \(25+7=32\) Streichhölzer auf dem Tisch. Man kann auch mehrere Zahlen addieren: Will man zum Beispiel \(4+2+8\) ausrechnen, addiert man zunächst \(4+2\), was \(6\) ist, und addiert anschließend \(8\), das heißt \(4+2+8=6+8=14\). Eine besondere Bedeutung kommt dabei der Zahl \(0\) zu: Wenn man \(0\) addiert, heißt das, dass man zu einer Anzahl von Dingen nichts hinzufügt, eine addierte Null verändert die Summe also nicht, es gilt daher \(a+0=a\) für jede Zahl a. Man spricht daher bei der Null auch vom neutralen Element der Addition.

Die Addition natürlicher Zahlen lässt sich (wie alles, was man mit den natürlichen Zahlen machen kann), über die Peanoaxiome definieren. Auch hier spielt das Induktionsaxiom eine entscheidende Rolle: Es reicht vollkommen, die Addition mit \(0\) zu definieren und zu definieren, was die Addition mit dem Nachfolger einer Zahl bedeuten soll, wenn man weiß, wie die Addition mit einer Zahl definiert ist. Wenn \(n\) eine natürliche Zahl ist und \(S(n)\) ihr Nachfolger, dann kann man für eine natürliche Zahl \(m\) die Addition wie folgt definieren:
\begin{align*}
m + 0 := m
\end{align*}
und
\begin{align*}
m + S(n) := S(m+n)
\end{align*}
Das zeichen „:=“ heißt dabei „ist definiert als“. Man kann mit Hilfe dieser Definition die Addition jeder Zahl auf die Addition mit dem Vorgänger und am Ende auf die Addition mit der 0 zurückführen. Z.B. kann man damit „beweisen“ (ja, es handelt sich hierbei um einen echten mathematischen Beweis!), dass 9+4 = 13 ist. Man geht dabei wie folgt vor:
\begin{align*}
9 + 4 &=9+S(3)\\
&=S(9+3) \\
&=S(9+S(2)) \\
&=S(S(9+2)) \\
&=S(S(9+S(1))) \\
&=S(S(S(9+S(0)))) \\
&=S(S(S(S(9)))) \\
&=S(S(S(10))) \\
&=S(S(11)) \\
&=S(12) \\
&=S(13) \\
&=14
\end{align*}

 

 



Es gibt zahlreiche Rechengesetze zur Addition natürlicher Zahlen. Die wichtigsten sind das Assoziativ- und das Kommutativgesetz. Du findest sie im Artikel "Rechengesetze".

Die Subtraktion (lat. subtrahere: entfernen, wegziehen) natürlicher Zahlen ist das Gegenteil der Addition, sie ist die zweite Grundrechenart. Umgangssprachlich wird Subtrahieren auch Minus-Rechnen oder manchmal auch Abziehen genannt. Wenn man eine Zahl \(a\) von einer anderen Zahl \(b\) Subtrahiert, sucht man nach einer Zahl \(c\), sodass \(b+c=a\) ist. Man schreibt dann: \(a-b=c\) (\(a\) Minus \(b\) ergibt \(c\)).

Will man beispielsweise \(14\) und \(5\) subtrahieren, ist das Ergebnis \(9\), da \(9+5=14\) ist. Man schreibt daher \(14-5=9\). In dieser Rechnung nennt man \(14\) den Minuenden, \(5\) den Subtrahenden, während \(9\) die Differenz der beiden Zahlen ist.

So wie die Addition das Hinzufügen von Dingen mathematisch beschreibt, beschreibt dagegen die Subtraktion das Wegnehmen von Dingen. Dabei treten standardmäßig zwei Situationen auf:

-man will wissen, wieviel übriggeblieben ist, wenn man etwas wegnimmt: Wenn zum Beispiel in einem Korb \(19\) Äpfel liegen und man davon \(4\) wegnimmt, sind \(19-4=15\) Äpfel übriggeblieben.

-man will wissen wie viel man weggenommen hat: Wenn in einem Korb, in dem sich \(17\) Äpfel befanden, \(12\) Äpfel liegen, dann wurden \(17-12=5\) Äpfel weggenommen.

Die Differenz zweier Zahlen beschreibt in gewisser Hinsicht den Unterschied zwischen ihnen: \(9\) und \(14\) unterscheiden sich um \(5\), da \(14-9=5\) ist. Wenn sich ein Tal auf \(400m\) über N.N. und ein Berg sich auf \(1500m\) über N.N. befindet, dann beträgt der Höhenunterschied zwischen Berg und Tal \(1100m\), da \(1500-400=1100\) ist. Diese Eigenschaft der Differenz, den Unterschied zwischen zwei Zahlen zu beschreiben sieht man daran, dass für den Höhenunterschied zwischen Berg und Tal ja eine Zahl gesucht ist, die zur Höhe des Tals addiert die Höhe des Berges ergibt; genau das ist aber die Subtraktion.

Anders als die Addition kann man die Subtraktion nicht immer durchführen: Wenn man zum Beispiel \(4-19\) rechnen will, ist ja nach einer Zahl gesucht, die mit \(19\) addiert \(4\) ergibt. Da eine solche Zahl nicht existiert, lässt sich die Subtraktion nicht durchführen. Später wirst du dann lernen, dass man die natürlichen Zahlen derart erweitern kann, dass Ausdrücke wie \(4-19\) einen Sinn ergeben werden. Solche Zahlen heißen negative Zahlen und bilden zusammen mit den natürlichen Zahlen die ganzen Zahlen.

Im nächsten Kapitel geht es dann um die anderen beiden Grundrechenarten, die Multiplikation und die Division.

Im Kapitel „Rechnen mit Stellenwertsystemen“ wirst du erfahren, wie man schriftlich addieren/subtrahieren kann.