In diesem Kapitel soll es darum gehen, wie man natürliche Zahlen darstellt. Hierzu wird der Begriff Stellenwertsystem eingeführt. Ein Stellenwertsystem kennst du bereits seit sehr lange (und wir haben es in den vorigen Kapiteln auch immer bereits stillschweigend genutzt): Das Dezimalsystem.

Doch bevor wir anhand des Dezimalsystems erklären, was ein Stellenwertsystem ist, wollen wir zunächst einmal ein Zahlensystem vorstellen, welches kein Stellenwertsystem ist, nämlich das System der römischen Zahlen. An den römischen Zahlen wird man schnell erkennen, was für immense Vorteile die Darstellung der natürlichen Zahlen mit Hilfe von Stellenwertsystemen gegenüber anderen Zahlensystemen (wie den römischen Zahlen) bietet.

Die römischen Zahlen bestehen aus verschiedenen „Ziffern“, die mit Buchstaben gekennzeichnet werden. Dabei steht

I für \(1\),
V für \(5\),
X für \(10\),
L für \(50\),
C für \(100\),
D für \(500\), und
M für \(1000\).

Die „Ziffern“ werden hintereinandergeschrieben, und zwar mit folgender Regel: steht eine „Ziffer“ vor einer kleineren Ziffer, so wird sie addiert; steht sie vor einer größeren Ziffer, wird sie subtrahiert; damit vermeidet man eine mehr als dreifache Wiederholung von Ziffern. Zum Beispiel steht IV für \(5-1=4\). \(79\) lässt sich mit \(79=50+10+10+10-1\), also LIXXX beschreiben, CDIV steht für \(500-100+5-1=404\). Auf diese Weise lassen sich alle natürlichen Zahlen (eigentlich nur Zahlen bis \(4999\), aber man kann sich ja jederzeit neue Buchstaben für „Ziffern“ wie \(5000\) oder \(10000\) ausdenken) darstellen. Der Nachteil von römischen Zahlen wird offensichtlich, wenn man das Geburtsjahr von Carl Friedrich Gauss (\(1777\)) in römischen Ziffern darstellen will: \(MDCCLXXVII\). Das sind mehr als doppelt so viele Symbole wie \(1\),\(7\),\(7\),\(7\)!

Aber was heißt eigentlich \(1\),\(7\),\(7\),\(7\), und warum ist es möglich, eine derart große Zahl mit nur \(4\) Symbolen darzustellen? Die Antwort liegt darin begründet, dass wir \(1777\) nicht als „\(1\) und \(7\) und \(7\) und \(7\)“ lesen, sondern in Wirklichkeit als \begin{align*}1777 &= 7 \cdot 1+7 \cdot 10+7 \cdot 100+1 \cdot 1000 \\
&= 7 \cdot 10^0+7 \cdot 10^1+7 \cdot 10^2+7 \cdot 10^3 \end{align*}
Diese Interpretation von Zahlen, in der die Ziffern je nach Position mit einer Potenz einer festen Zahl \(b\) multipliziert wird, heißt Stellenwertsystem zur Basis \(b\). Für gewöhnlich benutzen wir das Stellenwert zur Basis \(10\); das heißt, wir benutzen die zehn Ziffern \(0\),\(1\),\(2\),…,\(7\),\(8\),\(9\) und multiplizieren sie je nach Stelle mit einer Zehnerpotenz. Die Benutzung der Zahl Zehn als Basis hat übrigens keinerlei mathematische Gründe, sondern liegt ausschließlich daran, dass wir \(10\) Fingern an den Händen haben.
Hier ein paar Beispiele für Zahlen in anderen Stellenwertsystemen (die kleine Ziffer unten rechts gibt dabei an, zu welcher Basis die Zahl notiert wird).
\begin{align*}
6423_7 &= 3 \cdot 7^0+2 \cdot 7^1+4 \cdot 7^2+6 \cdot 7^3 \\ &= 3_{10}+14_{10}+196_{10}+2058_{10} \\ &= 2289_{10} \\
\\  2102_3 &= 2 \cdot 3^0+0 \cdot 3^1+1 \cdot 3^2+2 \cdot 3^3 \\ &=2_{10}+0_{10}+9_{10}+54_{10}\\&=65_{10} \\ \\ 101011_2 &= 1 \cdot 2^0+1 \cdot 2^1+0 \cdot 2^2+1 \cdot 2^3+0 \cdot 2^4+1 \cdot 2^5 \\ &=1_{10}+2_{10}+8_{10}+32_{10} \\ &=43_{10}.\end{align*}

 

 


Das letzte Beispiel ist eine Zahl im Stellenwertsystem zur Basis \(2\). Dieses Stellenwertsystem, auch Binär-System genannt, wird aufgrund seiner Einfachheit (es gibt nur zwei Ziffern, \(0\) und \(1\)) von Computern genutzt. Falls die Basis größer als zehn ist, heißt das, dass es auch mehr als zehn Ziffern geben muss. Da Ziffern größer als \(9\) trotzdem einstellig dargestellt werden müssen, benutzt man in diesem Fall Buchstaben für Ziffern.
Im Hexadezimalsystem, dem Stellenwertsystem zur Basis \(16\) (wegen der leichten Überführbarkeit ins Binärsystem in vielen Computerprogrammen genutzt), existieren die Ziffern \(0\),\(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\), \(9\), \(\textrm{A}\), \(\textrm{A}\), \(\textrm{B}\), \(\textrm{C}\), \(\textrm{D}\), \(\textrm{E}\), \(\textrm{F}\), dabei steht \(\textrm{A}\) für 10, \(\textrm{B}\) für 11, \(\textrm{C}\) für 12, \(\textrm{D}\) für 13, \(\textrm{E}\) für 14 und \(\textrm{F}\) für 15. Zum Beispiel steht die Zahl \(4\textrm{F}0_{16}\) für
\begin{align*}4\textrm{F}0_{16} &=0 \cdot 16^0+15 \cdot 16^1+4 \cdot 16^2 \\ &=0+240_{10}+1024_{10} \\ &=1264_{10}.\end{align*}

Die Umrechnung von einem System in das Zehnersystem ist vergleichsweise einfach (aber nur, weil wir an das Rechnen im Zehnersystem gewöhnt sind!). Wie man Zahlen allgemein von einem System in ein anderes umwandeln kann, erfährst du im nächsten Kapitel.