Die Multiplikation (lat. multiplicare: vervielfachen), auch Malnehmen genannt, beschreibt, was passiert, wenn man die gleiche Zahl mehrfach mit sich selbst addiert. Wenn zwei Zahlen \(a\) und \(b\) also multipliziert werden, heißt das, dass die Zahl \(b\) insgesamt \(a\) mal mit sich selbst addiert wird. Man schreibt \(a \cdot b\), spricht „\(a\) mal \(b\)“ und meint damit \(a \cdot b=b+b+…+b+b\). Zum Beispiel ist \(6 \cdot 7=7+7+7+7+7+7=42\). Weitere Beispiele:
\begin{align*}
5 \cdot 4 &= 5+5+5+5=20 \\
1 \cdot 4 &= 4 \\
4 \cdot 1 &= 1+1+1+1=4 \\
100 \cdot 0 &= 0+0+…+0+0=0
\end{align*}


An den Beispielen sieht man, dass bei der Multiplikation der \(1\) und der \(0\) eine besondere Rolle zukommt: \(a \cdot 1=a\) für jede Zahl \(a\) und \(b \cdot 0\)=\(0\) für jede Zahl \(b\). Daher nennt man die Zahl \(1\) auch das inverse Element der Multiplikation, während man die \(0\) als absorbierendes Element bezeichnet.

In einer Multiplikation bezeichnet man die beiden Zahlen, die multipliziert werden, als Faktoren, und die Zahl, die bei der Multiplikation als Ergebnis herauskommt, als das Produkt der beiden Faktoren; in der Rechnung oben sind also \(6\) und \(7\) die Faktoren, während \(42\) das Produkt aus \(6\) und \(7\) sind.

Man kann auch mehrere Zahlen miteinander Multiplizieren: will man zum Beispiel \(3 \cdot 2 \cdot 4\) ausrechnen, muss man zunächst \(3 \cdot 2=2+2+2=6\) ausrechnen, und anschließend das Ergebnis, also die Zahl \(6\), mit \(4\) multiplizieren:
\begin{align*}3 \cdot 2 \cdot 4=6 \cdot 4=6+6+6+6+6+6=24.\end{align*}
Auch die Multiplikation natürlicher Zahlen kann man mithilfe der Peano-Axiome definieren. Wir erinnern uns: dank Axiom (e) reicht es, die Multiplikation für die Zahl \(0\) und für den Nachfolger einer Zahl zu definieren, den Rest kann man dann für jede Zahl Schritt für Schritt bestimmen. Wir definieren nun:

\begin{align*}n \cdot 0 &= 0 \\ n \cdot S(m) &=n \cdot m+n. \end{align*}
Zum Beispiel kann man dann nur anhand der Axiome zeigen, dass \(3 \cdot 4=12\) ist:
\begin{align*}3 \cdot 4 &= 3 \cdot S(3) \\ &=3 \cdot 3+3\\ &=3 \cdot S(2)+3\\ &=3 \cdot 2+3+3\\ &=3 \cdot S(1)+3+3\\ &=3 \cdot 1+3+3+3\\ &=3 \cdot S(0)+3+3+3\\ &=3 \cdot 0+3+3+3+3=3+3+3+3\\ &=12, \end{align*}

 

 

wobei wir die Addition als bekannt voraussetzen (Sie wurde ja im letzten Kapitel definiert).

Wenn es für zwei Zahlen \(a\) und \(b\) eine natürliche Zahl \(c\) gibt, sodass \(a \cdot c=b\) ist, so nennt man \(b\) ein Vielfaches von \(a\). Zum Beispiel ist \(15\) ein Vielfaches von \(3\), denn es gibt eine Zahl (nämlich \(5\)), so dass \(3\) multipliziert mit dieser Zahl \(5\) ergibt. Jede Zahl (außer Null, die hat nur ein einziges Vielfaches, nämlich sich selbst) hat unendlich viele Vielfache, z.B. sind die Vielfachen von \(3\): \begin{align*}0,3,56,9,12,15,18,21,24,...\end{align*} und so weiter. Weitere Beispiele:

\(16\) ist ein Vielfaches von \(2\).
\(16\) ist auch ein Vielfaches von \(8\).
\(242423\) ist ein Vielfaches von \(1627\).
\(5\) ist ein Vielfaches von \(5\) und von \(1\), ansonsten aber von keiner anderen Zahl.
Der Begriff Vielfache wird dir noch im Kapitel ggt und Kgv begegnen.

Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation, sie ist die vierte Grundrechenart. Die Division wird umgangssprachlich auch Teilen genannt. Wenn eine Zahl \(a\) durch eine andere Zahl \(b\) dividiert (also geteilt) wird, heißt das, man sucht nach einer Zahl, die mit \(b\) multipliziert \(a\) ergibt. Wenn man zum Beispiel die Zahl \(6\) durch die Zahl \(18\) teilen will, dann sucht man nach einer Zahl, die mit \(6\) multipliziert \(18\) ergibt. Diese Zahl ist offensichtlich \(3\), denn \(3 \cdot 6\) ist \(18\). Man schreibt \(18:6 \div 3\) und spricht „\(18\) geteilt durch \(6\) ergibt \(3\)“. Weitere Beispiele:
\begin{align*}
10:5&=2, & \textrm{denn} &&2 \cdot 5 &= 10 \\
201:3&=67, & \textrm{denn} &&67 \cdot 3 &=201 \\
1024:1024&=1, & \textrm{denn} &&1 \cdot1024 &=1024 \\
555:1&=555, & \textrm{denn} &&555 \cdot 1 &=555
\end{align*}


Wichtig ist, dass die Division durch \(0\) für keine Zahl definiert ist. Wäre beispielsweise \(3\) durch \(0\) definiert, etwa als eine gewisse Zahl \(c\), so müsste \(c \cdot 0=3\) ergeben. Das kann aber nicht sein, denn \(c \cdot 0\) ist immer \(0\), und niemals \(3\), egal, was \(c\) angeblich für eine Zahl gewesen sein mag. Aus diesem Grund ist die Division mit \(0\) nicht definiert.

Ähnlich wie die Subtraktion lässt sich auch die Division natürlicher Zahlen nicht immer durchführen (auch dann nicht, wenn der Dividend ungleich Null ist). Beispielsweise gibt es keine natürliche Zahl, die mit \(5\) multipliziert \(32\) ergibt. Eine Division von \(32\) durch \(5\) ist daher nicht möglich. Zahlen, bei denen eine Division möglich ist, heißen durcheinander teilbar, man schreibt dann \(6 \mid 18\) für \(6\) teilt \(18\) und \(5 \nmid 32\) für \(5\) teilt nicht \(32\).
Man sagt auch „\(6\) ist ein Teiler von \(18\)“. Weitere Beispiele:
\(4 \mid 100\);
\(3 \nmid 8\),
\(15 \mid 30\),
\(1\), \(2\),\(3\), \(4\), \(6\), \(8\), \(12\), \(24\) sind alle Teiler der Zahl \(24\),
\(1 \mid 1234\) (und jede andere natürliche Zahl: \(1234 \div 1=1234\))
\(2542 \mid 0\) (sowie jede andere natürliche Zahl auch: \(0 \div 2542 = 0\)),
\(123\) (und jede andere natürliche Zahl auch) teilt sich selbst.
0 teilt nicht 1483 (und jede andere Zahl natürlich auch nicht, da die division mit 0 nicht definiert ist).

Teiler und Teilbarkeit werden dir noch im Kapitel ggt und kgV begegnen.

Wenn eine Zahl nicht durch eine gegebene Zahl teilbar ist, kann man zumindest immer die nächstkleinere Zahl finden, die die gegebene Zahl teilt. Der Unterschied zwischen dieser nächstkleineren und der gegebenen Zahl wird Rest genannt. Im obigen Beispiel ist \(5\) nicht durch \(32\) teilbar, wohl aber durch \(30\) (das ist offensichtlich die nächstkleinere durch \(5\) teilbare Zahl). \(30\) geteilt durch \(5\) ist \(6\). Der Rest, also die Differenz aus \(32\) und \(30\) ist \(2\). Man sagt dann „\(32\) geteilt durch \(5\) ergibt \(6\) Rest \(2\)“. Ein weiteres Beispiel ist: \(100 \div 6=16\) Rest \(4\). Die Division mit Rest wird dir in späteren Kapiteln noch einmal begegnen.

Die gängigsten Rechenregeln in Bezug auf die Multiplikation und Division findest du im Kapitel „Rechenregeln“.

Im nächsten Kapitel wird es um eine weitere Rechenoperation der natürlichen Zahlen gehen: die Potenzrechnung. Sie wird zwar nicht zu den vier Grundrechenarten gezählt, ist jedoch so wichtig, dass sie in dieser Übersicht nicht fehlen sollte.