Die Potenzrechnung wird zwar nicht zu den vier Grundrechenarten gezählt, ist aber für die Mathematik so wichtig, dass sie hier trotzdem erwähnt werden soll. Die Potenzierung zweier Zahlen \(a\) und \(b\) wird dadurch definiert, dass die Zahl \(a\) insgesamt \(b\)-mal mit sich selbst multipliziert wird. Man schreibt \(a^b\) und spricht „\(a\) hoch \(b\)“. Zum Beispiel ist \(3^2=3*3=9\), ein weitere Beispiele wären
\begin{align*}5^4&=5*5*5*5=625 \\ 2^3&=2*2*2=8. \end{align*}
Die Zahl, die dabei „unten“ steht, heißt Basis der Potenz, die Zahl, die „oben“ steht, heißt Exponent. Im Beispiel \(5^4=625\) ist \(5\) also die Basis und \(4\) also der Exponent.

Wenn der Exponent \(1\) ist, heißt das, dass die Zahl nur einmal mit sich selbst multipliziert wird, das heißt: \begin{align*}a^1=a\end{align*} für jede Zahl a.
Wenn die Basis \(1\) ist, so wird die Zahl \(1\) mit sich selbst multipliziert – egal wie oft, das Ergebnis bleibt \(1\). Das heißt
\begin{align*}1^b=1\end{align*} für alle Zahlen \(b\).
Wenn der Exponent \(0\) ist, so ist das Ergebnis als \(1\) definiert (und das hat gute Gründe!), das heißt \begin{align*}a^0=1 \end{align*} für jede Zahl \(a\).
Wenn die Basis \(0\) ist, heißt das, dass die Zahl \(0\) mit sich selbst multipliziert wird- egal wie oft, das Ergebnis wird immer noch \(0\) sein, daher gilt \begin{align*}0^b=0\end{align*} für alle Zahlen \(b\), solange \(b\) größer ist als \(0\).
Doch was ist, wenn sowohl die Basis, als auch der Exponent \(0\) ist? Mit anderen Worten: was ist \(0^0\)? Ist es \(0\), da die Basis \(0\) ist, oder \(1\), da der Exponent \(0\) ist? Das ist in der Tat ein Problem. Entweder wird es so gelöst, dass man sagt, dass \(0^0\) nicht definiert ist (ähnlich wie die Division durch \(0\)), oder man definiert \(0^0\) entweder (und je nach Anwendung!) als \(0\) oder als \(1\).

Wie man an den Beispielen \(2^3=8\) und \(3^2=9\) sehen kann, ist die Potenzierung –anders als die Addition und die Multiplikation- nicht kommutativ (und auch nicht assoziativ). Dies hat verschiedene Folgen- z.B. die, dass es bei der Potenzrechnung zwei unterschiedliche Umkehroperationen gibt – die Wurzel und den Logarithmus- je, nach dem, ob der Exponent oder die Basis gesucht ist. Die fehlende Kommutativität bedeutet aber nicht, dass es in der Potenzrechnung keine Rechengesetze gibt- ganz im Gegenteil: Zahlreiche Rechengesetze zur Potenzrechnung findest du im Kapitel „Rechengesetze“

Das Beispiel \(5^4=625\) deutet bereits an, dass man es bei der Potenzrechnung sehr schnell mit sehr großen Zahlen zu tun bekommt. Zum Beispiel ergibt \(7^{12}\) (Zahlen, die man z.B. ohne Probleme addieren oder multiplizieren kann) \(13 841 287 201\)- Eine Zahl, die fast doppelt so groß ist wie die aktuelle Weltbevölkerung!

Es gibt Potenzen, die in der Mathematik immer wieder auftauchen, die wichtigsten von ihnen sind die Zweierpotenzen und die Quadratzahlen.
Die Zweierpotenzen sind die Potenzen zur Basis \(2\), also Zahlen der Form \(2^n\), wobei \(n\) eine beliebige natürliche Zahl ist. Die ersten Zweierpotenzen sind \begin{align*}1, \ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ 64,\ 128,\ 256,\ 512,\ 1024,... \end{align*}
Die Quadratzahlen sind die Potenzen mit der Zahl \(2\) als Exponenten, also Zahlen der Form \(n^2\), wobei n eine beliebige natürliche Zahl ist. Die ersten Quadratzahlen sind \begin{align*}1, \ 4,\ 9,\ 25,\ 36,\ 49,\ 81,\ 100,\ 121,\ 144,\ 169,... \end{align*}

Nachdem du nun alles über die Grundrechenarten und die Potenzrechnung erfahren hast, geht es im nächsten Kapitel um die Darstellung der Natürlichen Zahlen.