Für die Umwandlung von einem Stellenwertsystem in ein anderes benutzt ein Verfahren, bei dem die Division mit Rest eine entscheidende Rolle spielt: Man dividiert (mit Rest) die untersuchte Zahl zunächst durch die Größte Potenz der Stellenwertbasis, die kleiner ist als diese Zahl. Der Ganzzahlquotient ist dann die erste Ziffer. Mit dem Rest verfährt man weiter: man teilt ihn durch die nächstkleinere Potenz der Stellenwertbasis, die kleiner ist als dieser Rest. Der neue Ganzzahlquotient ist dann die zweite Ziffer, mit dem Rest verfährt man wieder so weiter. Da der Rest irgendwann \(0\) ist (die kleinstmögliche Potenz ist ja \(1\), die durch jede Zahl teilbar ist), endet dieses Verfahren nach einer endlichen Anzahl von Schritten.

Das klingt alles sehr kompliziert, wird aber unmittelbar klar, wenn man als Basis zunächst die gewohnte Zahl \(10\) wählt: wir haben als Beispiel die Zahl \(41704_{10}\), dann liefert das oben beschriebene Verfahren die Ziffern der Zahl zur Basis \(10\):
\begin{align*}41704 \div 10000 &=4 \ \textrm{Rest} \ 1704, \ \textrm{verfahre mit dem Rest weiter:}\\
1704 \div 1000 &=1 \ \textrm{Rest} \ 704,\\
704 \div 100 &=7 \ \textrm{Rest} \ 4\\
4 \div 10 &= 0 \ \textrm{Rest} \ 4\\
4 \div 1&=4 \ \textrm{Rest} \ 0. \end{align*}


Beachte, dass die erhaltenen Ganzzahlquotienten genau die Ziffern der Zahl sind! Will man dieselbe Zahl nun etwa zur Basis \(7\) Darstellen, muss man zunächst die Siebenerpotenzen berechnen, die kleiner sind als \(41704\), das sind \begin{align*}7^0 &= 1 \\ 7^1 &=7 \\  7^2&=49 \\ 7^3 &= 343 \\ 7^4 &= 2401 \\ 7^5 &=16807. \end{align*}

 

\(7^6=117649\) ist bereits größer als \(41704\). Wir haben dann:
\begin{align*}41704 \div 16087 &= 2 \ \textrm{Rest}\ 8090 \\
9530 \div 2401 &=3 \ \textrm{Rest}\ 2327 \\
2327 \div 343 &=6 \ \textrm{Rest}\ 269 \\
269 \div 49 &=5 \ \textrm{Rest}\ 24 \\
24 \div 7 &=3 \ \textrm{Rest}\ 3 \\
3 \div 1 &=3 \ \textrm{Rest}\ 0. \\ \end{align*}

 


Die Darstellung von 41704 im Siebenersystem lautet also \(41740_{10}=236533_7\); in der Tat ist \begin{align*}236533_7  &= 3 \cdot 7^0+3 \cdot 7^1+5 \cdot 7^2+6 \cdot 7^3+3 \cdot 7^4+2 \cdot 7^5 \\ &= 3_{10}+21_{10}+245_{10}+2058_{10}+7203_{10}+32174_{10} \\&=41740_{10}.\end{align*}
Will man eine Zahl von einem System in ein anderes Umwandeln, empfiehlt es sich, die Zahl zunächst in das Zehnersystem umzuwandeln (eigentlich muss man das nicht, es ist nur für den Menschen leichter zu rechnen) und dann das obige Verfahren anzuwenden. Will man also zum Beispiel \(14A_{12}\) in das Fünfersystem umwandeln, rechnet man also zuerst: \begin{align*}14A_{12} &=11 \cdot 12^0+4 \cdot 12^1+1 \cdot 12^2 \\ &=11_{10}+48_{10}+144_{10} \\ &=203_{10}\end{align*}
Anschließend bestimmt man die Fünferpotenzen die kleiner als \(203\) sind (\(1\),\(5\),\(25\) und \(125\); \(625\) ist bereits größer) und rechnet: \begin{align*}
203 \div 125=1 \ \textrm{Rest}\ 78
78 \div 25=3 \ \textrm{Rest}\ 3
3 \div 5=0 \ \textrm{Rest}\ 3
3 \div 1=3 \ \textrm{Rest}\ 0\end{align*}
Daraus ergibt sich \(14A_{12}=3031_5.\)
Ein weiterer Vorteil der Darstellung natürlicher Zahlen im Stellenwertsystemen liegt darin, dass man mit ihnen vorteilhaft rechnen kann; dies wird dir im Kapitel „Rechnen mit Stellenwertsystemen und schriftliches Rechnen“ begegnen.