Stell dir vor, du befindest dich im \(47.\) Stockwerk eines Hochhauses mit \(100\) Stockwerken. Du stellst dich in den Aufzug und fährst zunächst \(19\) Stockwerke nach unten und anschließend \(23\) Stockwerke nach oben; im wievielten Stockwerk befindest du dich dann? Klar, wenn du im \(47.\) startest und \(19\) Stockwerke nach unten fährst, bist du im \(47-19=28.\) Stock. Danach fährst du \(23\) Stockwerke nach oben, das bedeutet, du befindest dich im \(28+23=51.\) Stock. Insgesamt bist du also lediglich \(23-19=4\) Stockwerke nach oben gefahren. In unserem Fall gilt also: „\(19\) Stockwerke nach unten“ „+“ „\(23\) Stockwerke nach oben“ „=“ „\(4\) Stockwerke nach oben“.

Aber gilt diese Beziehung auch für jeden Startpunkt? Nein, denn wenn du zum Beispiel statt im \(47.\) im \(14.\) Stockwerk startest, kannst du ja gar nicht \(19\) Stockwerke nach unten fahren. Du landest also irgendwann im Erdgeschoss und kommst nicht weiter. Anschließend fährst du \(23\) Stockwerke nach oben und befindest danach offenbar im \(23.\) Stock. Du bist also nicht, wie man nach „fahre \(19\) nach unten und anschließend \(23\) nach oben“ erwarten würde, \(4\) Stockwerke höher, sondern eines tiefer. Was ist hier passiert? Dass du dich nicht im zu erwartenden Stockwerk befindest, liegt offensichtlich daran, dass es nach dem Erdgeschoss, also dem „nullten“ Stock, nicht noch weiter nach unten geht.

Stell dir nun vor, das Gebäude, in dem du dich befindest, hätte nun zusätzlich zu den \(100\) oberirdischen auch noch weitere \(100\) unterirdische Stockwerke. Dann geht die Rechnung von oben wieder auf: Du startest im \(14.\), fährst dann \(19\) Stockwerke nach unten, und landest im \(5.\) Untergeschoss. Anschließend fährst du \(23\) Stockwerke nach oben und befindest dich schließlich im \(18.\) Stock, also \(4\) Stockwerke über dem Ursprünglichen. Unsere Formel „\(19\) Stockwerke nach unten“ „+“ „\(23\) Stockwerke nach oben“ „=“ „\(4\) Stockwerke nach oben“ gilt also wieder!

Das Konzept, dass man die natürlichen Zahlen um Elemente erweitert, die kleiner als \(0\) sind, wendet man an, um die ganzen Zahlen zu erhalten. Diejenigen Zahlen, die kleiner sind als \(0\), heißen negative Zahlen, und werden mit einem Minuszeichen versehen und gelesen, \(-3\) wird also „Minus Drei“ gelesen und meint diejenige Zahl, die man erhält, wenn man von der \(0\) aus drei Schritte zurückgeht. Die ganzen Zahlen sind dann alle natürlichen Zahlen, sowie alle negativen Zahlen, statt \(\mathbb{N}=0,1,2,3...\) haben wir nun mit \(\mathbb{Z}=...-3,-2,-1,0,1,2,3...\) die ganzen Zahlen.

Die ganzen Zahlen

Ein Paar Grundbegriffe: unter dem Betrag einer Zahl verstehen wir den Teil der ganzen Zahl ohne Vorzeichen: der Betrag von \(-4\), geschrieben \(\mid -4 \mid\) ist \(4\), der Betrag von \(4\) ist ebenfalls \(4\), es gilt \(\mid -4 \mid =4\).

Die Gegenzahl (manchmal auch missverständlich das „Negative“, oder das „additive Inverse“ einer Zahl genannt) einer ganzen Zahl ist diejenige ganze Zahl, die den gleichen Betrag, aber das gegenteilige Vorzeichen der gegebenen Zahl hat. \(-5\) ist zum Beispiel die Gegenzahl von \(5\), \(100\) ist die Gegenzahl von \(-100\) und \(0\) ist die Gegenzahl von sich selbst.

Das Konzept, dass es Größen gibt, die kleiner als \(0\) sind, kommt im „echten Leben“ in zahlreichen Situationen vor:

Wenn man ein Konto um \(100\) Euro überzogen, also \(100\) Euro Schulden hat, beträgt der Kontostand \(-100\) Euro. Zahlt man nun \(150\) Euro ein, beträgt der Kontostand \(-100\) Euro + \(150\) Euro=\(50\) Euro. Zahlt man hingegen nur \(80\) Euro ein, so hat man nach wie vor Schulden, denn \(-100\) Euro + \(80\) = \(-20\) Euro.

Höhenangaben auf der Erde werden meistens vom Meeresspiegel aus gemessen, man redet in der Topographie von Normalnull (NN). Die Zugspitze liegt beispielsweise auf \(2962\) Meter über NN. Es gibt aber auch Gegenden auf der Erde, die unter dem Meeresspiegel liegen, beispielsweise die Küste des toten Meeres in Israel/Palästina oder (offensichtlicherweise) der Meeresgrund. Das tote Meer liegt \(428\) Meter unter dem Meeresspiegel, also auf einer „Höhe“ von \(-428\) Meter. Die tiefste Stelle der Erde ist der Meeresgrund des Marianengrabens, einer gigantischen Schlucht im Westpazifik; Sein tiefster Punkt liegt bei ca. \(11.000\) m, also auf einer „Höhe“ von \(-11.000\) Metern.

Ein weiteres Beispiel aus dem „Echten Leben“ ist die Temperaturmessung in der Celsius-Scala. Das Grad Celsius (°C) ist definiert dadurch, dass Wasser (unter Normaldruck) bei \(100\)°C kocht und bei \(0\)° C gefriert. Offensichtlich ist \(0\)°C aber nicht die kältestmögliche Temperatur. Temperaturen unter dem Gefriepunkt haben entsprechend „Minusgrade“: Wenn es draußen \(4\)°C unter \(0\)°C ist, heißt das, es sind gerade \(-4\)°C. Wenn es am nächsten Tag \(7\)°C wärmer ist, ist es \(-4\)°C + \(7\)°C=\(3\)°C.

Wie man genau mit ganzen Zahlen rechnen kann, erfährst du in den nächsten Kapiteln.