Für die Multiplikation von ganzen Zahlen ist es zunächst einmal wichtig, zu verstehen, dass \((-1) \cdot (-1)=1\) ist. Aber warum ist das so? Wenn wir ein paar einfache Forderung an die Multiplikation ganzer Zahlen stellen, nämlich das Distributivgesetz, und die einfachen Regeln für die Multiplikation mit \(1\) und \(0\), also \(a \cdot 1=a\) und \(a \cdot 0=0\) für alle \(a\) (auch dann, wenn \(a\) negativ ist!), ergibt sich der Wert von \((-1) \cdot (-1)\) aus folgender Rechnung:
\begin{align*}(-1) \cdot (-1) &= (-1) \cdot (-1)-1+1 \\ &= (-1) \cdot (-1)+(-1)+1 \\ &= (-1) \cdot (-1)+(-1) \cdot 1+1 \\ &= (-1) \cdot ((-1)+1)+1 \\ &=(-1) \cdot 0+1 \\ &=0+1 \\ &=1\end{align*}

 

Will man nun, ausgehend von diesen Erkenntnissen über das Produkt von \((-1)\) mit sich selbst, das Produkt zweier beliebiger ganzer Zahlen bilden, so muss man eine Ganze Zahl zunächst aufteilen in ein Produkt aus ihrem Betrag und \(+1\) oder \(-1\) (je nachdem, ob die Zahl positiv oder negativ ist): Zum Beispiel schreibt man \(-7\) als \(-7=7 \cdot (-1)\) und \(8\) als \(8=8 \cdot 1\). Anschließend kann man die Zahlen multiplizieren, indem man rechnet: \begin{align*} -7 \cdot 8 &=7 \cdot (-1) \cdot 8 \cdot 1 \\ &=7 \cdot 8 \cdot (-1) \cdot 1 \\ &=56 \cdot (-1) \\ &=-56.\end{align*}

 

Will man zwei negative Zahlen multiplizieren, geht man analog vor, zum Beispiel hat man für \((-4) \cdot (-5)\): \begin{align*}(-4) \cdot (-5) &= 4 \cdot (-1) \cdot 5 \cdot (-1) \\ &=4 \cdot 5 \cdot (-1) \cdot (-1) \\ &=20 \cdot 1 \\ &=20.\end{align*}


Wie man aus diesen Beispielen ablesen kann, gilt für die Multiplikation von ganzen Zahlen, dass das Produkt zweier ganzer Zahlen positiv ist, wenn die Faktoren das gleiche Vorzeichen haben und negativ, wenn die Faktoren ein unterschiedliches Vorzeichen haben.

-Das Produkt zweier positiver Zahlen ist eine positive Zahl („plus mal plus gleich plus“)

-Das Produkt einer negativen und einer Positiven Zahl ist eine negative Zahl („plus mal minus gleich minus“)

-Das Produkt zweier Negativer Zahlen ist eine Positive Zahl („minus mal minus gleich plus“)

In dem Interaktiven Tool kannst du ganze Zahlen multiplizieren. Stelle die ganzen Zahlen ein und Zähle die entstandenen kleinen Rechtecke. Die Farbe der kleinen Rechtecke gibt das Vorzeichen des Produktes an: sind sie rot, so ist das Produkt negativ, sind Sie blau, so ist das Produkt positiv.

Hier geht es zum Interaktiven Tool.

Wenn man mehrere ganze Zahlen Multiplizieren will, geht man Schritt für Schritt vor, will man zum Beispiel \((-5)\), \(3\) und \((-4)\) multiplizieren, rechnet man: \begin{align*}(-5) \cdot 3 \cdot (-4) &= (-15) \cdot (-4) \\&=60. \end{align*}
Allgemein gilt offenbar: ist die Anzahl der negativen Faktoren in einem Produkt gerade, so ist das Produkt positiv, ist sie ungerade, so ist das Produkt negativ. Ein wichtiger Spezialfall des Produktes mit mehreren Faktoren sind die Potenzen. Zum Beispiel ist \begin{align*}(-4)^3=(-4) \cdot (-4) \cdot (-4)=64.\end{align*} ein anderes Beispiel ist \begin{align*}(-2)^{10}=1024,\end{align*}
da \(10\) eine gerade Zahl und \(2^{10}=1024\) ist.

Für die Divison ganzer Zahlen empfiehlt es sich, die ganzen Zahlen in ähnlicher Weise zu erweitern, wie man die natürlichen Zahlen zu den Brüchen erweitert: man führt negative Brüche ein. Die Gesamtheit all dieser Zahlen (positiver wie negativer Brüche) nennt man „rationale Zahlen“. Um sie geht es im nächsten Kapitel.