Rationale Zahlen erhält man, wenn man das Konzept von ganzen Zahlen mit dem Konzept von Brüchen und Dezimalzahlen kombiniert. Das heißt, die Menge der Brüche wird durch Zahlen der Form \(\frac{-a}{b}\) erweitert, wobei \(a\) und \(b\) natürliche Zahlen sind. Für die Division ganzer Zahlen muss man, ähnlich wie bei der Multiplikation ganzer Zahlen, zunächst klären, was die Division mit \((-1)\) bedeutet. Dies tut man, indem man sich klarmacht, was Division eigentlich bedeutet. Dies geschieht am Beispiel von \(12 \div 4:\) \begin{align*}12 \div 4=3 \textrm{, da} \ 3 \cdot 4=12.\end{align*}
Dieses Konzept benutzt man, um zu klären, was die Division bedeutet, wenn Zähler bzw. Nenner (-1) bzw. 1 sind.
\begin{align*}
\frac{1}{1}&=1, \textrm{das ist klar.}\\
\frac{1}{-1}&=(-1), & \textrm{da} \  (-1) \cdot (-1)=1 \\
\frac{-1}{1}&=(-1), & \textrm{da} \ (-1) \cdot 1 = (-1) \\
\frac{-1}{-1}&=1, & \textrm{da}  \ 1 \cdot (-1)=(-1)
\end{align*}

 


Analog zu „Minus mal Minus gleich Plus“ bzw. „Minus mal Plus gleich Plus“ gilt auch bei der Division:

„Minus geteilt durch Minus gleich Plus“.

„Minus geteilt durch Plus gleich Minus“.

Wenn man das weiß, kann man in Brüchen mit den Vorzeichen von Zähler und Nenner umgeht, kann man nun beliebige ganze Zahlen miteinander dividieren (und erhält dabei immer eine rationale Zahl, vorausgesetzt, der Nenner ist nicht gleich Null). Wir rechnen zum Beispiel: \begin{align*}\frac{-3}{5}=(-1) \cdot \frac{3}{5}=-\frac{3}{5}.\end{align*}

Natürlich kann man auch Dezimalzahlen mit einem Vorzeichen versehen, periodische wie nichtperiodische. Man rechnet dann mit ihnen wie mit ganzen Zahlen auch, zum Beispiel ist \begin{align*}(-0,4)*(-1,5-(-0,25))=(-0,4)*(-1,25)=0,5.\end{align*}

Wir machen folgende Feststellung:

Man kann mit rationalen Zahlen immer addieren und subtrahieren, das heißt, \(a +-b\) ist immer definiert; das geht mit natürlichen Zahlen und Brüchen nicht, zum Beispiel ist \(3-\frac{15}{2}\) als Bruch (natürlicher Zahlen) nicht definiert.
Man kann mit rationalen Zahlen aber auch immer multiplizieren und dividieren (solange der Nenner/Divident nicht 0 ist), das heißt, \(\frac{a}{b}\) ist für \(b\) ungleich \(0\) immer definiert; das geht mit den ganzen Zahlen nicht, zum Beispiel ist \(\frac{-3}{5}\) keine ganze Zahl.

Die Eigenschaft der rationalen Zahlen, dass man mit ihnen immer alle vier Grundrechenarten durchführen kann, heißt Abgeschlossenheit bzgl. der Multiplikation bzw. der Addition. Zahlenbereiche, bei denen sowohl die Addition, als auch die Multiplikation abgeschlossen sind, nennt man in der Algebra Körper. Man spricht daher auch oft vom Körper der Rationalen Zahlen. Aber sind das bereits alle Zahlen? Die Antwort ist lautet (ganz klar) Nein!

Dass die rationalen Zahlen nicht alle Zahlen beschreiben können sieht man an den Dezimalzahlen: im Kapitel periodische Dezimalzahlen hast du gelernt, dass jeder Bruch entweder als eine abbrechende oder als eine periodische Dezimalzahl darstellen lässt. Genauso lässt sich eine periodische Dezimalzahl immer als Bruch darstellen. Es gibt nun aber auch Dezimalzahlen, die weder periodisch, noch abbrechend sind, ein simples Beispiel wäre die Zahl \(0,101001000100001000001...\), bei der sich die Anzahl der Nullen jedes Mal um \(1\) erhöht. Da diese Zahl weder abbrechend noch periodisch sein kann, handelt es sich hierbei auch nicht um eine rationale Zahl! Zahlen, die auch nichtabbrechende, nichtperiodische Dezimalentwicklung zulassen, heißen reell. Um die reellen Zahlen geht es im nächsten Kapitel.