In diesem Abschnitt wollen wir uns mit den Grenzen der rationalen Zahlen beschäftigen, und eine neue Rechenart, das Wurzelziehen, kennenlernen.

Im Kapitel über Brüche und Dezimalzahlen hast du gelernt, dass man mit Brüchen problemlos alle vier Grundrechenarten durchführen kann (in der Algebra nennt man solche Zahlenbereiche, in denen problemlos Plus, Mal, Minus und Geteilt gerechnet werden kann Körper. \(\mathbb{Q}\), die rationalen Zahlen bilden einen Körper, \(\mathbb{Z}\), die ganzen Zahlen und \(\mathbb{Q}^{>0}\), die positiven rationalen Zahlen jedoch nicht (warum?). Insbesondere hat die Gleichung \(ax+b=0\) mit \(a\),\(b\) in \(\mathbb{Q}\) immer eine Lösung in \(\mathbb{Q}\). Allerdings ist es nicht so, dass jede Gleichung mit den rationalen Zahlen gelöst werden kann. Ein wichtiges Beispiel einer solchen Gleichung, die nicht mit rationalen Zahlen gelöst werden kann ist \begin{align*}x^2=2.\end{align*}
Das heißt, es gibt keine rationale Zahl, die mit sich selbst multipliziert \(2\) ergibt. Den Beweis, der ein wichtiges Stück Mathematikgeschichte darstellt, findest du im Beweisarchiv; er stammt aus dem antiken Griechenland und ist über 2000 Jahre alt!

Aber was kann man tun, um Gleichungen wie diese zu lösen? Im der Mathematischen Teildisziplin Algebra beantwortet man die Frage mit dem Begriff der „Körpererweiterung“: man erfindet in gewisser Hinsicht eine Zahl \(w\), welche die Gleichung löst, und erweitert die rationalen Zahlen um die Zahl \(w\) und alle weiteren Zahlen, so dass das erweiterte \(\mathbb{Q}\) wieder einen Körper bildet. Diese Art der Konstruktion wird dir noch im Kapitel „komplexe Zahlen“ begegnen.

In der mathematischen Teildisziplin Analysis geht man das Problem anders an: anstatt, dass man die Antwort direkt angibt, probiert man, die Lösung der obigen Gleichung näherungsweise anzugeben und versteht die Lösung selbst als einen Annäherungsprozess. Diese Konstruktion nennt sich Vervollständigung der rationalen Zahlen. Die Zahlen, die man erhält, wenn man die ratonalen Zahlen vervollständigt, heißen reelle Zahlen, für die man in der Mathematik das Symbol \(\mathbb{R}\) benutzt.

Für das Vervollständigen der reellen Zahlen gibt es viele verschiedene  gleichwertige Möglichkeiten, von denen zwei hier vorgeführt werden sollen: das Intervallhalbierungsverfahren und die sog. Cauchy-Folgen.

In \(\mathbb{R}\) hat die Gleichung \begin{align*}x^n=a\end{align*}
immer eine Lösung, solange die Zahl \(a\) nicht negativ ist. Diese (eindeutige) Lösung heißt \(n\)-te Wurzel aus \(a\), und wird \(\sqrt[n]{a}\) geschrieben. Zahl \(a\) heißt Radikant und die Zahl \(n\) heißt Wurzelexponent. Der Fall \(n=2\) tritt besonders häufig auf, bei Wurzeln mit dem Wurzelexponenten \(2\) (auch Quadratwurzeln genannt) lässt man daher den Exponenten häufig weg und schreibt einfach \(\sqrt{a}\). Quadratwurzeln benutzt man dann, wenn eine Zahl gesucht ist, dessen Quadrat bekannt ist, wie beispielsweise beim Satz des Pythagoras und beim Lösen quadratischer Gleichungen. Die wichtigsten Regeln im Umgang mit Wurzeln und wie man das Wurzelziehen als Potenzieren auffassen kann, findest du im Kapitel "Rechenregeln".

Der nächste Abschnitt ist ein Ausblick auf die Einführung der reellen Zahlen. Im Anschluss daran werden die beiden oben beschriebenen Methoden zu ihrer Konstruktion vorgestellt.