Im letzten Kapitel hast du erfahren, dass man mit den rationalen Zahlen nicht alle Zahlen darstellen kann; beispielsweise gibt es keine rationale Zahl, die mit sich selbst multipliziert \(2\) ergibt. Allerdings kann man man mit verschiedenen Verfahren Folgen rationaler Zahlen bestimmen, bei denen die Folgenglieder dem gewünschten Ergebnis beliebig nahe kommen. Dieses Konzept nennt man Vervollständigung der rationalen Zahlen, und im Ergebnis führt das auf eine neue Zahlenmenge, die reellen Zahlen \(\mathbb{R}\).

Die reellen Zahlen sind die Zahlen, mit denen normalerweise in den Naturwissenschaften gearbeitet wird, da sie sowohl die rationalen, als auch die irrationalen Zahlen beinhalten. Die Eigenschaft der reellen Zahlen, die sie in den Naturwissenschaften so unverzichtbar machen, ist die sogenannte Kontinuität. Die rationalen Zahlen auf der Zahlengerade stellt man sich als einzelne Punkte vor, die man sogar durchnummerieren kann (in der Mathematik nennt man solche Mengen abzählbar) und zwischen denen es Löcher, die irrationalen Zahlen, gibt, auch wenn diese Löcher unendlich klein sein mögen. Bei den reellen Zahlen stellt man sich hingegen die gesamte Zahlengerade vor, einschließlich aller möglichen Zwischenräume, Löcher und Lücken. Daher der Name Kontinuum.

Normalerweise stellt man reelle Zahlen mittels Dezimalzahlen dar. Da man insbesondere bei irrationalen Zahlen unendlich viele Nachkommastellen braucht, gilt für reelle Zahlen eine wichtige Regel:

Reelle Zahlen lassen sich im Allgemeinen nicht mit endlichen Mitteln exakt darstellen, da für die exakte Darstellung unendlich viele Informationen nötig wären!

Das einzige, was man bei reellen Zahlen tun kann, ist, sie mit rationalen Zahlen anzunähern. Bei der Konstruktion der reellen Zahlen definiert man die Zahl also folgerichtig nicht als ein einzelnes Objekt, sondern immer als eine Art Annäherungsprozess mit rationalen Zahlen. Dazu ist noch zu klären, wann zwei dieser Annäherungsprozesse die gleiche reelle Zahl beschreiben. Diese Annäherungsprozesse heißen dann äquivalent. Ist das geklärt, kann man eine reelle Zahl im Anschluss daran definieren als eine Zusammenfassung aller untereinander äquivalenter Annäherungsprozesse.

Doch wie sehen diese Annäherungsprozesse konkret aus? Wir wollen hier zwei Verfahren vorstellen, mit denen man die reellen Zahlen mit Hilfe der rationalen konstruieren kann: das Intervallschachtelungsverfahren und die Vervollständigung mittels Cauchy-Folgen.

Bei den hier vorgestellten Verfahren wird (wie schon bei den natürlichen Zahlen mit den Peano-Axiomen) ein Spagat versucht: Auf der einen Seite probieren wir, das in den nächsten beiden Kapiteln Erklärte mit der nötigen mathematischen Präzision anzugehen, auf der anderen Seite geht es uns darum, die Sachverhalte dennoch so einfach und bildlich wie möglich darzustellen.

Wir beginnen mit der Definition von reellen Zahlen mittels Intervallschachtelung, dabei werden reelle Zahlen über Bereiche von rationalen Zahlen definiert, die Schritt für Schritt kleiner gemacht werden, um sich am Ende zu einem Punkt auf der Zahlengerade zusammenzuziehen.