Eine Möglichkeit, reelle Zahlen darzustellen, ist, sie mit einer Intervallschachtelung darzustellen. Ein rationales Intervall \([a,b]\) (lat. inter valli: zwischen Pfählen) ist dabei die Menge aller rationalen Zahlen zwischen \(a\) und \(b\), also die Menge aller rationalen Zahlen, die größer oder gleich \(a\), aber kleiner oder gleich \(b\) ist. Als Länge oder Größe eines Intervalls wird die Zahl \(b-a\) definiert.

Ein Intervall \([a,b]\) kann in einem Intervall \([c,d]\) enthalten sein. Das ist offenbar genau dann der Fall, wenn a größer oder gleich c und b kleiner oder gleich d ist.

Da man reelle Zahlen im Allgemeinen nicht exakt darstellen kann, sind Intervalle eine gute Methode, sie dennoch einigermaßen greifbar zu machen: anstatt, dass man eine reelle Zahl direkt angibt, gibt man an, in welchem Bereich der Zahlengerade sie sich befindet. Diese Bereiche kann man mit Intervallen beschreiben. Wenn man die Intervalle, in der sich eine reelle Zahl befinden soll, immer kleiner macht, redet man von einer Intervallschachtelung, konkret:

Eine Intervallschachtelung ist definiert als eine unendliche Folge von Intervallen, die zwei Voraussetzungen erfüllen:

    (i): Die Länge der Intervalle wird beliebig klein.
    (ii): Jedes Intervall ist im Vorgängerintervall enthalten.

siebenundneunzigdurchvierEine Intervallschachtelung

In der ersten Abbildung sieht man eine Intervallschachtelung für die Zahl \(\sqrt{2}\). Die roten Stellen stehen für die unteren Intervallgrenzen, während die blauen für die oberen stehen.

Mit Hilfe von Intervallschachtellungen kann man reelle Zahlen darstellen: die kleiner werdenden Intervalle stelle sicher, dass die Annäherungen an die reelle Zahl immer genauer werden.

Doch was passiert, wenn zwei gleiche reelle Zahlen durch unterschiedliche Intervallschachtelungen beschrieben werden? In der zweiten Abbildung siehst du die Lösung: Zwei Intervallschachtelungen beschreiben genau dann die gleiche relle Zahl, wenn die Untergrenzen der einen Intervallschachtelung immer kleiner sind als die Obergrenzen der anderen Intervallschachtelung und andersherum. Solche Intervallschachtelungen nennt man äquivalent.

MetallmaßstabZwei äquivalente Intervallschachtelungen: gelb ist immer links von blau und grün ist immer rechts von rot.

Da die letzte Aussage eine Genau-dann-Wenn Aussage ist, haben wir auch ein Kriterium dafür gefunden, an dem man erkennen kann, ob zwei Intervallschachtelungen nicht die gleiche Zahl beschreiben (also nicht äquivalent sind): Zwei Intervallschachtelungen beschreiben also genau dann unterschiedliche reelle Zahlen, wenn mindestens eine Obergrenze der einen Intervallschachtelung größer ist als mindestens eine Untergrenze der anderen Intervallschachtelung. Dies wird in Abbildung 3 dargestellt.

periodIntervallschachtelungen, die NICHT äquivalent sind.

Wenn man weiß, was Äquivalenz bei Intervallschachtelungen bedeutet, kann man sich nun daran machen, zu definieren, was eine reelle Zahl ist:

eine reelle Zahl ist die Zusammenfassung aller jeweils zueinander äquivalenten Intervallschachtelungen.

Das heißt für das Beispiel \(\sqrt{2}\), dass \(\sqrt{2}\) definiert ist als die Menge all jener Intervallschachtelungen, die die Zahl \(\sqrt{2}\) beschreiben.

Die Beschreibung von Objekten als Zusammenfassung äquivalenter Objekte ist in der Mathematik weit verbreitet und heißt Äquivalenzklassenbildung. Die Arbeit mit Äquivalenzklassen erlaubt es, äquivalente Objekte als gleich aufzufassen und die Eigenschaften des Objektes anhand von nur einem Repräsentanten der Äquivalenzklasse zu beschreiben: will man zum Beispiel das Dreieck mit den Seitenlängen \(3\), \(4\) und \(5\) beschreiben, redet man eigentlich von unendlich vielen Vertretern von je zueinander Kongruenten Dreiecken. Die wesentlichen Eigenschaften des Dreiecks (Umfang, Flächeninhalt, Winkelgrößen, etc.) sind aber unabhängig davon, welches der untereinander äquivalenten Dreiecke man zur Bestimmung der Eigenschaften heranzieht.

periodZwei Kongruente Dreiecke. Alle wesentlichen geometrischen Eigenschaften stimmen überein.

Genauso verhält es sich mit reellen Zahlen: wenn man die Eigenschaft einer oder mehrerer reeller Zahlen mit Intervallschachtelungen beschreiben will (zum Beispiel, wie die Summe oder das Produkt definiert ist), ist es ausreichend, für jede beteiligte Zahl nur eine sie beschreibende Intervallschachtelung zu betrachten; alle weiteren äquivalenten Intervallschachtelungen haben dann die gleichen Eigenschaften (dass das so ist, muss natürlich immer bewiesen werden!).

Bevor wir zu einer weiteren Möglichkeit kommen, reelle Zahlen zu beschreiben, wollen wir eine spezielle Intervallschachtelung zur Beschreibung von \(\sqrt{2}\) kennen lernen, das Intervallhalbierungsverfahren. Bei diesem Verfahren handelt es sich um eine Methode, \(\sqrt{2}\) (und andere Wurzeln) tatsächlich zu berechnen.