Im letzten Kapitel hast du die theoretischen Grundlagen der Intervallschachtelung kennengelernt. Hier soll nun eine Intervallschachtelung am Beispiel der Wurzel aus zwei vorgeführt werden. Die Vorgehensweise ist dabei denkbar einfach (dafür im Vergleich mit anderen Verfahren unheimlich ineffizient):

Man startet mit einem Intervall, welches \(\sqrt{2}\) enthält. Danach prüft man, ob sich \(\sqrt{2}\) in der linken oder rechten Intervallhälfte befindet. Danach fährt man mit dem entsprechenden Intervall fort, das heißt, man prüft, ob sich \(\sqrt{2}\) in der linken oder rechten intervallhälfte befindet und fährt mit jenem Intervall fort. Da sich die Länge der Intervallfolge mit jedem Schritt halbiert, und \(\sqrt{2}\) in jedem dieser Intervalle liegt, handelt es sich offenbar um eine Intervallschachtelung der Zahl \(\sqrt{2}\).

Starten wir also mit einem Intervall \(I_0\), von dem wir sicher wissen, dass die linke Intervallgrenze kleiner und die rechte Intervallgrenze größer als \(\sqrt{2}\) ist. Ein solches Startintervall wäre zum Beispiel \(I_0=[1;2]\): \(\sqrt{2}\) ist mit Sicherheit größer als \(1\), aber genauso sicher auch kleiner als \(2\).

Für den nächsten Schritt bestimmt man den Mittelpunkt der beiden Intervallgrenzen. Wenn \(a\) und \(b\) die Intervallgrenzen sind, dann ist der Mittelpunkt des Intervalls nichts anderes als der Mittelwert (außerhalb der Mathematik auch Durchschnitt genannt) der Zahlen \(a\) und \(b\), also \(\frac{a+b}{2}\). In unserem Fall ist der Mittelpunkt des Intervalls \(I_0\) \(1.5\), da \(\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}=1.5\). Nun prüfen wir, ob wir für den nächsten Schritt mit dem Intervall \([1,1.5]\) oder \([1.5,2]\) fortfahren müssen; dies geschieht, indem wir \(1.5^2=2.25\) ausrechnen. Da \(2\) kleiner ist als \(2.25\) (und damit auch kleiner als das Quadrat jeder Zahl, die größer ist als \(1.5\)), muss sich \(\sqrt{2}\) in der linken Intervallhälfte, also dem Intervall \(I_2=[1,1.5]\). Von diesem Intervall wird wieder der Mittelpunkt ermittelt, sprich \(1.25\). Da \(1.25^2=1.625\), muss sich \(\sqrt{2}\) diesmal in der rechten Intervallhälfte befinden. Wir erhalten also das Intervall \(I_2=[1,25,1,5]\). Wenn man so weitermacht, erhält man folgende weitere Intervalle:

\(I_3=[1.375,1.5]\)
\(I_4=[1.375,1.4375]\)
\(I_5=[1.40625,1.4375]\)

\(I_20 = [1.414213, 1.414214]\),

Wir haben \(\sqrt{2}\) also in 20 Schritten auf sechs Nachkommastellen genau berechnet (was keine gute Ausbeute ist!).

Metallmaßstabdas Intervallhalbierungsverfahren für \(\sqrt{2}\)

Das Intervallhalbierungsverfahren kann man natürlich auch für andere Wurzeln aus anderen Zahlen (auch mit anderen Wurzelexponenten) anwenden; allgemein kann man das Intervallhalbierungsverfahren immer dann zur Annäherung reeller Zahlen benutzen, wenn man ohne viel Aufwand feststellen kann, ob die gesuchte Zahl gößer oder kleiner als ein gegebener Intervallmittelpunkt ist (also tatsächlich in der Anwendung so gut wie immer).

Mit einem Computer lässt sich das Intervallhalbierungsverfahren mit vielen Schritten durchführen. Man muss dem Computer nur mitteilen, was genau er zu tun hat; dies geschieht in etwa so:

00 Berechnung der Wurzel aus 2 mit dem Intervallhalbierungsverfahren in 100 Schritten:
10 a=1;
20 b=2;
30 n=0;
40 m=(a+b)/2;
50 wenn m^2<2, setze a=m;
60 andernfalls setze b=m;
70 setze n=n+1;
80 falls n>99, gebe a und b aus.
90 andernfalls gehe zu 40;

Wie oben bereits erwähnt, ist das Intervallhalbierungsverfahren kein besonders effizientes Verfahren zur Annäherung von \(\sqrt{2}\). Ein weitaus besseres Verfahren ist zum Beispiel das Heronverfahren. Es geht zurück auf den bedeutenden Mathematiker Heron von Alexandria. Doch bevor wir dazu kommen, muss vorher noch eine andere Möglichkeit der Konstruktion der reellen Zahlen besprochen werden, die der so genannten Cauchy-Folgen. Hierbei werden reelle Zahlen als Folgen rationaler Zahlen definiert, bei der die Folgenglieder einander beliebig nahe kommen.