Inhalt
» Einführung
» Die Definition als Tupel
» Die geometrische Interpretation (in Ebene und Raum)
» Punkte und Vektoren, der(ein) Unterschied(?)
» Rechenoperationen mit Vektoren
» Beispiele
» Anmerkungen

Einführung

Die Vektorrechnung stellt die Fortsetzung der Geometrie in der Oberstufe dar. Wir versuchen in diesem Kapitel alle grundlegenden Eigenschaften und Definitionen der Vektoren zu erklären und ihren Sinn zu erläutern. Immer wieder verweisen wir auf die abstrakteren Artikel Vektorraum (Link) und xyz um das in der Schule gelegte Fundament in das größere Gebilde der linearen Algebra einzubetten. Wir benutzen die für SchülerInnen freundliche Schreibweise des Vektorpfeils \(\vec{a}\), natürlich haben andere Schreibweisen wie \(\textbf{a}\) oder nur \(a\) auch Vor- und Nachteile.

Die Definition als Tupel

Vektoren kann man über viele verschiedene Wege einführen. Beliebt sind Vektoren, hergeleitet aus der Parallelverschiebung, in der Geometrie, aus Punkten (sogenannte Ortsvektoren, ebenfalls aus der Geometrie) oder allgemein als Elemente eines Vektorraumes (LINK). Wir beginnen anders, für uns sind Vektoren zu Beginn nur Zahlentupel.

Ein Vektor ist ein Zahlentupel (Zahlenpaar) \(\binom{x}{y}\) mit \(x,y\in\mathbb{R}\). Die Menge aller dieser Vektoren bezeichnen wir als den Vektorraum \(\mathbb{R}^2\).\footnote{Eine Einführung über Vektorräume findet sich hier}

Beispiele dafür sind die Vektoren \(\binom{0}{0}\), \(\binom{2}{1}\), \(\binom{-1}{10000}\) sowie \(\binom{-3}{\pi}\). Oftmals schreibt man der Lesbarkeit halber Vektoren in einer Zeile, dadurch werden unsere Vektoren zu \((0,0)\), \((2,1)\), \((-1,10000)\) und \((-3,\pi)\). Streng genommen ist jedoch ein Zeilenvektor etwas anderes als ein Spaltenvektor (mehr dazu lernt ihr bei den Matrizen), viele AutorInnen setzen daher das sogenannte Transponiertzeichen:
\begin{align*}
(a,b)^T=\binom{a}{b}
\end{align*}
Da in unseren schulischen Anwendungen nur Spaltenvektoren benötigt werden, erlauben wir uns, statt \((2,1)^T\) nur \((2,1)\) zu schreiben.

Unsere Definition lässt sich natürlich auf Zahlentripel oder ganz allgemein \(n\)-Tupel ausweiten.

Ein \(n\)-dimensionaler Vektor ist ein Zahlentupel
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ \dots \\ x_n
\end{pmatrix}
\end{align*}

 

mit \(x_1,\dots , x_n\in\mathbb{R}\). Die Menge aller dieser Vektoren bezeichnen wir als den Vektorraum \(\mathbb{R}^n\).

Spätestens jetzt sehen wir auch den Sinn der abkürzenden Schreibweise \((x_1,\dots , x_n)\) (beziehungsweise \((x_1,\dots , x_n)^T\)). Wir kürzen den \(R^2\) als Ebene und den \(R^3\) als Raum ab und werden im folgenden Abschnitt sehen, woher diese Namen kommen.

Die geometrische Interpretation (in Ebene und Raum)

Die formale Definition haben wir hinter uns gebracht, kommen wir zur "anschaulichen" und beginnen wir mit einem intuitiven Beispiel. Wir wissen von einer Raute (Link) drei der vier Punkte

ebenen 2

Hoffentlich wissen wir alle intuitiv die Koordinaten des Punktes \(C\). Was ist dabei passiert? Intuitiv sind wir "von \(B\) aus die Strecke \(\bar{AD}\) gelaufen" (oder umgekehrt von \(D\) aus \(\bar{AB}\)). Strecken sind jedoch streng Längen und haben daher keine Richtung, was wir unterbewusst gemacht haben, ist in Vektoren gedacht um \(C\) zu finden.

ebenen 2

Ein Vektor, geometrisch betrachtet, ist eine bestimmte Länge in eine bestimmte Richtung abgetragen. Intuitiv niedergeschrieben gilt daher im obigen Beispiel
\begin{align*}
\vec{C}=\vec{B} + \vec{AD},
\end{align*}
dabei ist \(\vec{B}\) der Weg zum Punkt \(B\) und \(\vec{AD}\) die Richtung von \(A\) zu \(D\), ihre Komponenten konnten wir ablesen.

ebenen 2

und wir werden später sehen, dass wir das auch wie folgt intuitiv komponentenweise rechnen können:

\begin{align*}
\vec C = \vec{B} + \vec{AD}=\binom{4}{1}+\binom{1}{2}=\binom{5}{3}.
\end{align*}

Punkte und Vektoren, der(ein) Unterschied(?)

Viele Lehrwerke (gerade im Schulbereich) unterscheiden Punkte (\(A\), \(P\)) und Vektoren (\(\vec a\), \(\vec v\)) nicht. Wir wählen hier einen anderen Ansatz und wollen explizit mit unserer Schreibweise darauf hinweisen, ob ein Vektor aus einem Punkt oder aus einer Richtung resultiert. Dies soll uns bei geometrischen Überlegungen helfen. So ist im folgenden Bild der Vektor \(\vec{A}\) aus dem Punkt \(A=(2;5)\) motiviert, der Vektor \(\vec{v}\) hingegen ein "üblicher" Vektor und von uns bewusst gleich gewählt.

ebenen 4

Diese Schreibweise erleichtert in Geometrieaufgaben und vor allem beim Aufstellen von Geraden die Übersicht (und wir wollen hier Schreibweisen wie \(P+\vec v\) kritisieren).

Rechenoperationen mit Vektoren

Im folgenden behandeln wir das Skalieren von Vektoren, das Addieren und Subrahieren, die geometrische Interpretation der Operationen (in der Ebene), den Vektor zwischen zwei Punkten sowie die Definition des Gegenvektors.

Natürlich kann man mit Vektoren auch rechnen. Wir werden mit der Skalierung/Streckung von Vektoren beginnen und dabei auch immer parallel betrachten, was geometrisch passiert.

Rechnerisch wird bei der Multiplikation mit einem Skalar (in unserem Fall eine reelle Zahl) jede Komponente mit diesem multipliziert. Es gilt also
\begin{align*}
s\cdot \begin{pmatrix}
x \\ y \\ z \\
\end{pmatrix}&= \begin{pmatrix}
s \cdot x \\ s \cdot y \\ s \cdot z \\
\end{pmatrix} \\ s\cdot \begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ \dots \\ x_n
\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}
s\cdot x_1 \\ s\cdot x_2 \\ \dots \\ s\cdot x_n \end{pmatrix} \end{align*}

 


Geometrisch wird bei der Multiplikation mit einem Skalar (der Multiplikation mit einer Zahl) ein Vektor gestreckt/gestaucht und oder seine Richtung geändert.

ebenen 3


Weitere Anwendungen und Erklärungen zur Multiplikation mit einem Skalar findet ihr unter Beispiele.

Bei der Addition/Subtraktion gilt umgangssprachlich das "komponentenweise rechnen". Wir addieren zwei Vektoren indem wir die erste Komponente addieren, die zweite, und so weiter:
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
x_a \\ y_a \\ z_a \\
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
x_b \\ y_b \\ z_b \\
\end{pmatrix}&= \begin{pmatrix}
x_a+x_b \\ y_a+y_b \\ z_a+z_b \\
\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ \dots \\ x_n
\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}
s\cdot x_1 \\ s\cdot x_2 \\ \dots \\ s\cdot x_n
\end{pmatrix}
\end{align*}

 

Was geschieht geometrisch? Betrachten wir unser Rautenbeispiel, wir hatten die Rechnung \(\vec{B}+\vec{AD}\), genauer
\begin{align*}
\vec{B}+\vec{AD}=\binom{4}{1}+\binom{1}{2}=\binom{5}{3}
\end{align*}
und erhielten den Vektor \(\vec{C}\) (und dadurch den Punkt \(C\)).

Wie haben wir im Rautenbeispiel den Vektor \(\vec{AD}\) erhalten, wie erhalten wir ganz allgemein den Vektor zwischen zwei Punkten? Wir konnten die Richtung ablesen, werden aber sehen, dass ganz allgemein die Formel 

\begin{align*}
\vec{AD}=\vec{D}-\vec{A}
\end{align*}
gilt.
Dies merkt man sich gerne als "Spitze Minus Schaft"-Regel

So können wir nun auch den Gegenvektor zu \(\vec{v}\) ganz einfach über \(-\vec{v}\) bestimmen. Ein Gegenvektor zu einem Vektor \(v\) (allgemein im \(\mathbb R^n\)) ist definiert über
\begin{align*}
\vec v + (-\vec v)=\vec 0 = (0,\dots, 0).
\end{align*}

Wir möchten hier anmerken, dass wir Vektoren weder multiplizieren, noch dividieren. Seht mehr dazu im anschließenden Kapitel (hier). 

Beispiele

Grundrechenarten: Gegeben sind die drei Vektoren
\begin{align*}
\vec a = \binom{1}{2}, \vec b= \binom{-1}{-1}, \vec c = \binom{2}{-1}.
\end{align*}
Berechne \(\vec a + 2\vec b - \vec c\) rechnerisch und geometrisch.

Lösung: Beginnen wir mit dem Rechnerischen,
\begin{align*}
\vec a + 2\vec b - \vec c &= \binom{1}{2}+2\cdot \binom{-1}{-1} - \binom{2}{-1}\\
&= \binom{1}{2}+\binom{-2}{-2} - \binom{2}{-1}\\ &=\binom{1-2-2}{2-2-(-1)}=\binom{-3}{1}.
\end{align*}

 

Geometrisch tragen wir die einzelnen Vektoren nacheinander ab:

ebenen 3

Die Raute im Raum: Dieses Beispiel soll die rechnerischen Möglichkeiten der Vektorrechnung im Vergleich zu unseren früheren, geometrischen, in den Vordergrund heben. Wir betrachten eine Raute im Raum, sie hat die bekannten Eckpunkte \(A=(1,-1,2)\), \(B=(0,2,3)\) und \(C=(4,2,5)\). Ähnlich zuvor wollen wir den fehlenden Eckpunkt \(D\) berechnen.

Lösung: Dieses Beispiel können wir nicht wie zuvor geometrisch lösen (außer mit einem Computerprogramm). Eine planare Skizze wie zuvor

ebenen 3

ergibt die analoge Überlegung,
\begin{align*}
\vec D & =\vec A+\vec{BC}=\vec{A}+\vec{C}-\vec{B} \\
& =\begin{pmatrix}
1\\-1\\2
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
4\\2\\5
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
0\\ 2\\ 3
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
5\\ -1\\ 4
\end{pmatrix}
\end{align*}


wobei wir \(\vec{BC}\) mit der "Spitze Minus Schafft"-Regel berechnet haben. Wir können das ganze auch mit Geogebra zeichnen.vektoren 7

Anmerkungen

Weitere Eigenschaften, primär aus dem Universitären Bereich, findet ihr hier (LINK).

Vektorprodukt, Kreuzprodukt, Einheitsvektoren, die Fortsetzung der Vektorrechnung findet sich hier (Link)

Früher wurde in der Schule noch viel Wert gelegt, Vektoren im Raum zu zeichnen. Diese sehr schöne, aber auch aufwendige Arbeit kann heute durch Programme wie GeoGebra ersetzt werden. Wir haben euch hier ein Notebook vorbereitet in der wir auch die Raute im \(R^3\) eingezeichnet haben.

vektoren_4.ggb

An unserem Beispiel der Vektoraddition sieht man gut, wie schwierig es ist, Vektoren sinnvoll zu bezeichnen. In der höheren Mathematik hat sich die generelle Beschreibung mit \(\vec x=(x_1,\dots x_n)\) durchgesetzt, auch oftmals schon im \(\mathbb{R}^2\), wir schreiben also \((x_1,x_2)\). Führe ich einen zweiten allgemeinen Vektor ein, so nenne ich diesen \(\vec y=(y_1,\dots y_n)\), diese Schreibweise steht aber im Gegensatz zur Schule und den dort verwendeten Punktkoordinaten \((x,y)\) beiehungsweise \((x,y,z)\). Wählt man daher ganz allgemein zwei Vektoren \((x_1,y_1)\) und \((x_2,y_2)\) erhalten wir für einen Vektor der Länge \(n\) Probleme mit den Buchstaben. Das gleiche gilt für \(\vec (a_x,a_y)\), \(\vec b=(b_x,b_y)\), wir sehen also, wir sollten uns immer im Klaren sein, dass wir die Schreibweisen vor uns gut verstehen.