Inhalt:
» Wiederholung
» Die Vektorform
» Beispiele
»Geraden im Raum
» Anmerkungen

Wiederholung

Wir kennen in der Ebene bereits lineare Funktionen \(f(x)=kx+d\) beziehungsweise \(y=kx+d\). In der Vektorrechnung wollen wir nun Geraden nicht als Funktionen sondern als geometrische Objekte betrachten. Dabei treten einige Unterschiede auf, \(y\) ist nicht mehr abhängig von \(x\), das hat zum Beispiel zur Folge, dass auch die vertikale Gerade als Objekt, sie war ja keine Funktion, möglich sein wird. Unsere primäre Untersuchung werden die Lagebeziehungen in Ebene und Raum sein.

Wiederholt hier (LINK), wie man Geraden der Form \(y=kx+d\) zeichnen kann.

Die Vektorform

Mit Hilfe der Vektorrechnung und ihren Werkzeugen können wir nun eine Gerade anders darstellen. Um mit Vektoren eine Gerade zu konstruieren, laufen wir zuerst zu einem Punkt \(\vec A\) der Gerade. Wir nennen ihn Aufpunkt. Jede Gerade hat eine Richtung (in der Funktionentheorie nannten wir diese Richtung Steigung \(k\)), diese Richtung kann durch einen Richtungsvektor \(\vec v\) dargestellt werden.

ebenen 2

Nun besteht die Gerade aber nicht aus \(\vec A+\vec v\) alleine, wir müssen unseren Richtungsvektor \(\vec{v}\) in beliebige Länge in beide Richtungen abwandern um alle Punkte der Gerade zu erhalten

ebenen 3

Dabei können wir uns schnell überlegen, dass der Punkt \(A\), von dem wir losgehen, durch jeden anderen Punkt der Gerade ersetzt werden kann.

ebenen 3

Dadurch, dass wir den Richtungsvektor \(\vec v\) in beliebiger Länge verwenden, ist es egal, ob wir \(\vec{v}\), \(-\vec{v}\) oder \(2\vec v\) verwerden. Zusammenfassend haben wir die Gerade in Vektorform erstellt.

Eine Gerade \(g\) in der Ebene ist also über
\begin{align*}
f: \vec X=\vec A+s\cdot \vec v,\quad s\in\mathbb{R}
\end{align*}
dargestellt. Dabei ist \(\vec X=\binom{x}{y}\), \(\vec A\) der Vektor zu einem beliebigen Aufpunkt \(A\in f\) und \(\vec v\) der Richtungsvektor der Geraden.

Andere Schreibweisen sind oftmals
\begin{align*}
\vec X(s)=\vec A+s\cdot \vec v, \text{ oder } \vec X=A+s\cdot \vec v,\quad s\in\mathbb{R}.
\end{align*}

Die allgemeine Geradenform über die Normalvektorform
Wir beginnen mit der abstrakten Herleitung der sogenannten Normalvektorform. Wir kennen eine Gerade \(f\) bereits als die Menge aller Punkte, die eine Geradengleichung \(y=kx+d\) erfüllen und nun auch als die Menge aller Punkte \(\vec X\), die über \(\vec X=\vec A+s\cdot \vec v\) darstellbar ist.
ebenen 4

Offensichtlich existiert zu jeder Gerade \(f\) ein Vektor \(\vec n\), der normal (Hinweis: Im rechten Winkel/orthogonal) zu ihrem Rictungsvektor \(\vec v\) steht, wir nennen ihn Normalvektor zur Geraden \(f\).
ebenen 3

Nun können wir uns überlegen, dass der Verbindungsvektor \(\vec{AX}\) eines jeden Punktes \(\vec X\) der Gerade mit dem Aufpunkt \(A\) normal zu \(\vec n\) steht,
ebenen 2

dann gilt also
\begin{align*}
& \vec{XA}\cdot \vec{n}=0\\
& (\vec A-\vec X)\cdot \vec n=0\\
& \vec A\cdot \vec n=\vec X\cdot \vec n,
\end{align*}


dies ist die sogenannte Normalvektorform einer Geraden \(g\). Ging das schnell? Vermutlich. Führen wir das ganze an einem langsamen Beispiel aus, sei \(g(x)=2x-1\), dann können wir \(g\) zeichnen:

ebenen 2

Nun wählen wir als (beliebigen) Aufpunkt den sogennanten \(y\)-Abschnitt \(\vec A=(0;-1)\) und als Steigung den Richtungsvektor \(\vec v=(1;2)\)

ebenen 3

Die Gerade \(g\) hat dann einen Normalvektor \(n_g\), in unserem Fall \(\vec n_g=(-2;1)\).

ebenen 3

Dieser steht normal zu allen Vektoren \(\vec{XA}\) in der Gerade.

Was passiert nun, wenn wir dies ausmultiplizieren? Wir erhalten die sogenannte allgemeine Geradenform

beziehungsweise allgemeiner
\begin{align*}
& \vec{XA}\cdot \vec n_g=0\\
& (\vec A-\vec X)\cdot \vec n_g=0\\
& \binom{a_1-x}{a_2-y}\cdot \binom{n_1}{n_2}=0\\
& (a_1-x)\cdot n_1+(a_2-y)\cdot n_2=0\\
& ...\\
& n_1x+n_2y=a_1n_1+a_2n_2
\end{align*}

 


welche man dann oft angekürzt als \(ax+by=c\) schreibt (mit \(n_1=a,n_2=b\) und \(a_1n_1+a_2n_2=c\)).

Lösen wir diese Gleichung nach \(y\) auf, schließt sich unser Kreis, denn wir erhalten \(y=kx+d\) in anderer Schreibweise
\begin{align*}
y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}.
\end{align*}

Wir fassen zusammen: Die explizite Geradenform \(y=kx+d\) war unser erster Kontakt mit Geraden, damals noch linearen Funktionen. Über die Einführung der Vektorrechnung lässt sich leicht die Parameterform \(\vec X=\vec A+s\vec v\) motivieren (benannt nach dem auftretenden Parameter \(s\)). Über den Normalvektor zu einer Geraden \(g\) kommen wir auf die sogenannten Normalvektorform \(\vec{XA}\cdot \vec n_g=0\) (auch beliebt ist die äquivalente Schreibweise \(\vec A\cdot \vec n_g=\vec X\cdot \vec n_g\)). Vereinfachen wir diese erhalten wir die allgemeine Geradenform \(ax+by=c\). Wir wiederholen uns, unser Kreis schließt sich, indem wir nach \(y\) auflösen (was nur geht, wenn \(b\neq 0\)). Die unterschiedlichen Geradenformen existieren natürlich, da jede Vorteile mit sich bringt und für unterschiedliche Problemstellungen geeigneter ist

Beispiele

Die vertikale Gerade: Stelle die abgebildete Gerade \(g\) in allen Formen auf
ebenen 1

Lösung: Wir wählen als Aufpunkt \(\vec A=(c;0)\) und die vertikale Richtung ist gegeben durch \(\vec v=(0;1)\)
ebenen 3

Dadurch erhalten wir ganz schnell
\begin{align*}
\vec X=\binom{c}{0}+s\binom{0}{1}.
\end{align*}

Analog bleiben wir beim Aufpunkt \(\vec A\) und überlegen, dass \(\vec n_g\) durch \((1;0)\) gegeben ist.
ebenen 3

Dadurch erhalten wir genauso schnell die Normalvektorform
\begin{align*}
& \vec A\cdot \vec n_g=\vec X\cdot \vec n_g\\
& \binom{c}{0}\cdot\binom{1}{0}=\binom{x}{y}\cdot\binom{1}{0}
\end{align*}
und multiplizieren wir diese aus, erhalten wir die allgemeine Geradenform \(x=c\). Nur die explizite Form funktioniert nicht aufgrund des verschwindendem \(y\)s. Wir können demnach nicht nach \(y\) auflösen. Vertikale Geraden können also nicht über die Darstellung \(y=kx+d\) aus der Funktionentheorie definiert werden, dies hat Sinn, denn vertikale Geraden sind auch keine Funktionen!

\(k\) und \(\vec v\): Stelle eine Umrechenformel von \(k\) in \(\vec v\) und umgekehrt dar.

Lösung: Haben wir die Steigung \(k\) einer Geraden, so können wir am Steigungsdreieck unser \(\vec v\) ablesen.
ebenen 4

Haben wir umgekehrt unser \(\vec v=\binom{v_1}{v_2}\), so können wir über den Vektor das Steigungsdreieck erstellen und es gilt dann
\begin{align*}
k=\frac{\delta y}{\delta x}=\frac{v_2}{v_1}.
\end{align*}
ebenen 4

Die Normale: Gegeben ist eine Gerade \(f(x)=2x-2\), gib eine Gerade \(g\) an, die normal zu \(f\) steht.

Lösung: Aus einer Skizze können wir uns Aufpunkt \(\vec A=(0;-2)\) und Richtungsvektor \(\vec v=(1;2)\) herauslesen. Haben wir \(\vec v\), können wir direkt \(\vec n\) bestimmen (link)
\begin{align*}
\vec n=\binom{-2}{1}
\Rightarrow g:\vec X=\binom{0}{-2} +s\binom{-2}{1}.
\end{align*}

Ganz allgemein gilt, dass für \(k\) der Geraden \(f\) und \(k_\bot\) der normalen \(n\) der folgende Zusammenhang gilt: \(k\cdot k_\bot=-1\) denn die dazugehörigen Richtungsvektoren der Geraden sind \(\binom 1 k\) und \(\binom{-k}{1}\).

Geraden im Raum, die Unterschiede

Möchte man eine Gerade im Raum darstellen, so bleibt einem nun die Vektorform. Diese lässt sich aber einfach in die dritte Dimension analog übertragen,

geraden ebene raum 1

es ändert sich nur, dass \(\vec A\) und \(\vec v\) nun aus dem \(\mathbb{R}^3\) sind:
\begin{align*}
& \vec X=\vec A+s\vec v\\
& \begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}=
& \begin{pmatrix}
a_1\\a_2\\a_3
\end{pmatrix}
+s& \begin{pmatrix}
v_1\\v_2\\v_3
\end{pmatrix}
\end{align*}


Wir werden sehen, dass die aus der Ebene motivierte intuitive Schreibweise \(ax+by+cz=d\) keine allgemeine Geradenform, sondern eine Ebenenform darstellt. Eben gleiches gilt dann natürlich auch für \(\vec A\cdot \vec n_g=\vec X\cdot \vec n_g\) (mit \(\vec A,\vec{n}_g\in\mathbb{R}^3\). Analog ist die explizite Form eng verknüpft mit der allgemeinen Geradenform, so existiert diese auch nicht im Raum.

Betrachten wir ein Beispiel, ein Geschoß über dem Meer besitzt aufgrund der hohen Geschwindigkeit eine nahezu gerade Flugbahn. Seine Position zum Zeitpunkt \(t=0\) kann im Raum als Punkt \(S=(0;0;12000)\) beschrieben werden, seine Flugrichtung über den Vektor \(\vec v=(100;80;-325)\). Geben Sie eine Trägergerade \(g\) der Flugbahn an und berechnen Sie, wo das Geschoß ins Meer eintritt.

Lösung: Die Gerade ist naheliegenderweise durch den Aufpunkt \(\vec S\) und den Richtungsvektor \(\vec v\) gegeben:
\begin{align*}
\vec X=\vec S+t\cdot \vec v=\begin{pmatrix}
0\\0\\12000
\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}
100\\80\\-325
\end{pmatrix}.
\end{align*}
Suchen wir den Eintrittspunkt, so wissen wir, dass dieser Punkt \(P\) die \(z\)-Koordinate 0 haben muss (Höhe über den Meeresspiegel). Wir setzen also an
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
x_P\\y_P\\0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0\\0\\12000
\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}
100\\80\\-325
\end{pmatrix}.
\end{align*}
Betrachten wir die \(z\)-Komponente, so ergibt dies die lineare Gleichung
\begin{align*}
& 12000-325t=0 \\
& t=\frac{480}{13}
\end{align*}
und dadurch können wir die \(x\)- und \(y\)-Komponente berechnen
\begin{align*}
\vec P & =\begin{pmatrix}
0\\0\\12000
\end{pmatrix}+\frac{480}{13}\cdot \begin{pmatrix}
100\\80\\-325
\end{pmatrix}= \\
& =\begin{pmatrix}
\frac{48000}{13}\\ \frac{38400}{13}\\0
\end{pmatrix}\approx \begin{pmatrix}
3692,31 \\ 2953,85 \\0
\end{pmatrix}.
\end{align*}

 

Anmerkungen

Aufgaben zu Lagebeziehungen findet ihr hier (Link).

Was wir im Beispiel (Link) eigentlich gemacht haben, ist die Gerade \(g\) mit der Ebene \(z=0\) geschnitten. Dazu jedoch mehr in den Ebenen (Link).