Inhalt:
»Vorbemerkung
»Die Darstellungsformen
»Unsere Ebene aus zwei verschiedenen Perspektiven
»Lagebeziehung Gerade und Ebene
»Lagebeziehung zweier Ebenen
»Lagebeziehung dreier Ebenen
»Beispiele

Vorbemerkung

Ebenen im Raum sind oft der Abschluss der Vektorrechnung in der Oberstufe. Wir werden viele lineare Gleichungssysteme lösen müssen, alles wichtige dazu findet ihr hier. Zudem benötigt ihr die Grundlagen der Vektorrechnung, hier und hier. Es lohnt sich zudem, Geraden im Raum zu beherrschen. Dazu geht es hier lang. Wie in einigen wenigen Kapiteln zuvor geben wir in den Beispielen nur die Lösungen an, da wir zuvor einige durchrechnen.

Die Darstellungsformen

Eine Gerade \(g\) im Raum kann über die Form
\begin{align*}
g:\quad \vec X=\vec A+s\cdot \vec{v},\quad s\in\mathbb{R}
\end{align*}
dargestellt werden, dabei ist \(A\) der sogenannte Aufpunkt und \(\vec v\) der Richtungsvektor.

ebenen 1

Um aus dieser Gerade eine Ebene zu erhalten, benötigen wir umgangssprachlich gesagt eine zweite Richtung \(\vec u\) (diese darf natürlich nicht parallel zu \(\vec v\) sein).

ebenen 2

Dann kann man sich vorstellen, dass eine Ebene \(e\) dargestellt werden kann über
\begin{align*}
g:\quad \vec X=\vec A+s\cdot \vec{v}+t\cdot \vec u, \quad r,s\in\mathbb{R}.
\end{align*}
Dies ist die sogenannte Parameterdarstellung der Ebene, da die Punkte der Ebene abhängig sind von den Parametern \(r\) und \(s\).

ebenen 3
ebenen 4

Unsere Ebene aus zwei verschiedenen Perspektiven

Es gibt jedoch noch weitere Darstellungsformen der Ebene. Analog zu unseren Überlegungen bei der Geradengleichung hier setzen wir an. Zu jeder Ebene \(e\) gibt es einen Normalvektor \(\vec n_e\), der normal(rechtwinklig, orthogonal) zu ihr steht. Das bedeutet, die Menge aller Vektoren \(\vec{AX}\) einer Ebene stehen normal zu \(\vec n_e\).

ebenen 5

Daher können wir die Menge aller Punkte \(X\) einer Ebene wie folgt darstellen
\begin{align*}
\vec{AX}\cdot \vec{n}_e=0.
\end{align*}

Setzen wir ähnlich unserer Vorgehensweise bei den Geraden nun die Koordinaten ein und vereinfachen
\begin{align*}
& \vec{AX}\cdot \vec{n}_e=0\\
& (\vec X-\vec A)\cdot \vec{n}_e=0\\
& \vec X\cdot \vec{n}_e=\vec A\cdot \vec{n}_e\\
& \begin{pmatrix}
x\\ y\\ z
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
n_1\\ n_2\\ n_3
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a_1\\ a_2\\ a_3
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
n_1\\ n_2\\ n_3
\end{pmatrix}\\
& n_1x+n_2y+n_3z=a_1n_1+a_2n_2+a_3n_3.
\end{align*}

 

 

Dies erinnert an die Herleitung der allgemeinen Geradengleichung, wir nennen unser Resultat allgemeine Ebenengleichung oder allgemeine Ebenenform. Meist nennt man noch die Parameter um und erhält
\begin{align*}
ax+by+cz=d.
\end{align*}

Offensichtlich können wir in der allgemeinen Geradengleichung jederzeit den Normalvektor \(\vec n=(a;b;c)\) ablesen. Der Normalvektor ist natürlich nicht eindeutig bestimmt, jeder zu \(\vec n_e\) parallele Vektor ist ebenfalls ein Normalvektor zu \(e\). Wie erhält man für eine beliebige Ebene in Parameterform den Normalvektor? Mit einer einfachen Überlegung, \(\vec n_e\) muss sowohl zu \(\vec u\) als auch \(\vec v\) normal stehen. Das Kreuzprodukt \(\vec v\times \vec u\) ergibt also den Normalvektor:
\begin{align*}
\vec v\times \vec u=\vec{n}_e.
\end{align*}

Wiederholen wir das ganze an einem Beispiel! Betrachten wir die Ebene \(e\) mit
\begin{align*}
e:\quad \vec X=\vec A+s\cdot \vec{v}+t\cdot \vec u
\end{align*}
mit \(A=(1;1;0)\), \(\vec v=(2;1;0)\) und \(\vec u=(-1;1;1)\). Dann erhalten wir \(\vec n_e\) über \(\vec v\times \vec u\),
\begin{align*}
\vec{n}_e=\begin{pmatrix}
2 \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
-1 \\ 1 \\ 1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 \\ -2 \\ 3
\end{pmatrix}.
\end{align*}

Wir erhalten daher die Normalvektorform \(\vec{AX}\cdot \vec{n}_e=0\), mit einer kurzen Umformung erhalten wir auch die allgemeine Geradenform

\begin{align*}
\vec X\cdot \vec{n}_e&=\vec A\cdot \vec{n}_e\\
\begin{pmatrix}
x\\ y\\ z
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 \\ -2 \\ 3
\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}
1 \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}
1 \\ -2 \\ 3
\end{pmatrix}\\
\Rightarrow x-2y+3z&=-1.
\end{align*}

 

 

Für die meisten folgenden Anwendungen ist uns die allgemeine Geradenform am angenehmsen!

Lagebeziehung Gerade und Ebene

Geometrisch überlegt kann es nur drei Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene geben. Sie sind parallel, die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt oder die Gerade liegt in der Ebene. Kann man, ähnlich der Lagebeziehung zweier Geraden im Raum(LINK) dies so einfach ablesen? In der Theorie ja, erfahrungsgemäß ist es jedoch weniger umständlich, die Gerade und die Ebene zu schneiden. Der Gedankenganz ist der folgende, schneiden sich \(g\) und \(e\) in einem Punkt, erfüllt ein Punkt der Gerade die allgemeine Ebenengleichung. Dazu setzen wir die Korrdinaten der Parameterform der Geraden in die Ebenengleichung ein und lösen die enstehende Gleichung. Betrachten wir ein Beispiel,
\begin{align*}
& e:\quad x-2y+3z=-1 \\
& g: \vec X=\begin{pmatrix}
3 \\ 1 \\ -2
\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}
1 \\ -1 \\ 2
\end{pmatrix}
\end{align*}

wir formen dazu die Geradengleichung zum Verständniss ein wenig um
\begin{align*}
& g: \vec X=\begin{pmatrix}
3 \\ 1 \\ -2
\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}
1 \\ -1 \\ 2
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
3+s\\ 1-s \\ -2+2s
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
x_g\\ y_g \\ z_g
\end{pmatrix}.
\end{align*}
Wie geschrieben setzen wir das nun in unsere Ebenengleichung ein,
\begin{align*}
& (3+s)-2(1-s)+3(-2+2s)=-1. \\
& s=\frac{9}{4}
\end{align*}
Diese Lösung für den Parameter \(s\) setzen wir nun in die Geradengleichung ein, wir erhalten den Schnittpunkt \((5,25;-1,25;2,5)\).

Es handelte sich im letzten Schritt um eine lineare Gleichung mit einer Unbekannten \(s\). Dieses Gleichungssystem kann eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben. Davon abhängig existiert ein, kein oder unendlich viele Schnittpunkte, wobei letzteres natürlich bedeutet, dass die Gerade in der Ebene liegt. Exisitiert kein Schnittpunkt, sind Gerade und Ebene parallel!

Lagebeziehung zweier Ebenen

Erneut stellen wir uns geometrisch vor, dass zwei Ebenen parallel sein können, sich schneiden (in einer sogenannten Schnittgerade) oder identisch sind. Wir stellen das Verfahren vor, wenn beide Geraden \(e_1\) und \(e_2\) in der allgemeinen Geradengleichung sind. Wir erinnern uns an die Lagebeziehung zweier Geraden (hier), "Haben zwei Geraden einen Schnittpunkt, erfüllt also ein Punkt \(P=(x;y)\) beide Geradengleichungen \(h\) und \(g\), erfüllt demnach diese Lösung \(P=(x;y)\) beide Gleichungen und ist somit Lösung des Gleichungssystems." Diesen Gedanken übertragen wir, haben beide Ebenen Punkte gemeinsam, so müssen diese Punkte das dazugehörige Gleichungssystem lösen. Betrachten wir also zunächst zwei Ebenen und das dazugehörige Gleichungssystem
\begin{align*}
& e_1:\quad x+y+z=1\\
& e_2:\quad 2x-y-z=0.
\end{align*}
Ein geometrischer Gedanke (wie so oft) zu Beginn. Die Normalvektoren dieser zwei Ebenen lauten \(\vec{n}_1=(1;1;1)\) und \(\vec{n}_2=(2;-1;-1)\). Diese sind offensichtlich nicht parallel! Dadurch können auch die dazugehörigen Ebenen nicht parallel sein:

ebenen 6

Es bleibt also nur die Schnittgerade, wie bestimmen wir diese? Lösen wir unser Gleichungssystem. Wir nennen ein \((2\times 3)\) System unterbestimmt, da es mehr Unbekannte als Gleichungen gibt. Üblicherweise hat so ein System unentlich viele Lösungen.
\begin{align*}
& I:\quad x+y+z=1\\
& II:\quad 2x-y-z=0.
\end{align*}
Es bietet sich an, die Gleichungen zu addieren, dies resultiert in
\begin{align*}
& II+I:\quad 3x=1\\
& \Rightarrow x=\frac{1}{3}.
\end{align*}
Was machen wir mit dieser Lösung? Wie geht es weiter? Betrachten wir noch einmal das Gleichungssystem mit \(x=\frac{1}{3}\) eingesetzt,
\begin{align*}
& I:\quad \frac{1}{3}+y+z=1\\
& II:\quad \frac{2}{3}-y-z=0.
\end{align*}

Die zwei Gleichungen sind ident, wir haben also unentlich viele Lösungen der Form
\begin{align*}
& y=\frac{2}{3}-z.\\
\end{align*}
Das wäre ja eine Gerade, aber eine Gerade in der (\(z,y\)-)Ebene und nicht im Raum! Wir wissen aber, dass eine Gerade im Raum einen freien Parameter hat, meist nennen wir ihn \(s\) oder \(t\). Definieren wir nun (zum Beispiel) \(z\) als \(t\), dann haben wir für \(x,y,z\) Gleichungen, nämlich
\begin{align*}
& x=\frac{1}{3} \\
& y=\frac{2}{3}-t\\
& z=t.
\end{align*}
Das können wir als Gerade umschreiben, nämlich
\begin{align*}
g: \vec{X}=\begin{pmatrix}
x\\ y\\ z
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\frac{1}{3}\\ \frac{2}{3}-t\\ t
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{3}\\ \frac{2}{3}\\ 0
\end{pmatrix}-t\begin{pmatrix}
0 \\ -1 \\ 1
\end{pmatrix}.
\end{align*}

Die Gerade \(g\) ist unsere Schnittgerade, die wir erhalten haben, indem wir \(z\) als freien Parameter definiert haben. Betrachten wir ein weiteres Beispiel,
\begin{align*}
& e_1=I:\quad x+y+z=1\\
& e_2=II:\quad 2x-3y-z=2.
\end{align*}
Das Additionsverfahren bringt uns
\begin{align*}
& II+I:\quad 3x-2y=3\\
& \Rightarrow x=\frac{2}{3}y+1.
\end{align*}
Wählen wir diesmal \(y=t\), erhalten wir
\begin{align*}
& x=\frac{2}{3}t+1 \\
& y=t\\
& z=?.
\end{align*}
Wissen wir wirklich nicht, was \(z\) ist? Doch, wir wissen es schon- Setzen wir nämlich \(x\) und \(y\) in \(I\) (oder \(II\)) ein, können wir dort nach \(z\) in Abhängigkeit von \(t\) auflösen:
\begin{align*}
I: (\frac{2}{3}t+1)+t+z=1,\\
\Rightarrow z=-\frac{5}{3}t
\end{align*}
und daher
\begin{align*}
& x=\frac{2}{3}t+1 \\
& y=t\\
& z=-\frac{5}{3}t.
\end{align*}
Wie zuvor erhalten wir unsere Schnittgerade
\begin{align*}
g: \vec X=\begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ -\frac{5}{3}
\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}
\frac{2}{3} \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix}.
\end{align*}

Sowohl Schnittgerade als auch der Fall der identischen Ebenen haben unendlich viele Lösungen. Unterscheiden von der Schnittgerade konnten wir die zwei Fälle mit Hilfe der Normalvektoren. Gibt es eine mathematische Theorie, die allgemein an Gleichungssystemen erklärt, wann welcher der Fälle eintritt? Ja, es geht, mit dem sogenannten Rangkriterium. Üblicherweise lernt man dies aber erst in der Universität und ihr benötigt Matrizen und vieles mehr. In der Praxis erkennt ihr parallele und identische Ebenen üblicherweise per Auge, denn die Ebenengleichungen sind echt vielfache voneinander, zum Beispiel

\begin{align*}
& e_1:\quad -4x+2y+2z=0\\
& e_2:\quad 2x-y-z=0,
\end{align*}
parallele Ebenen haben parallele Richtungsvektoren aber unterschiedliche Konstante \(d\) auf der rechten Seite. So sind die Ebenen
\begin{align*}
& e_1:\quad -4x+2y+2z=0\\
& e_2:\quad 2x-y-z=1\\
& e_3:\quad 2x-y-z=3\\
& e_4:\quad -2x+y+z=1\\
& e_5:\quad 6x-3y-3z=1
\end{align*}

 

alle parallel.

Unsere Vorgehensweise ist also die folgende: Schritt 1, sind die Normalvektoren parallel? Schritt 2a, Ebenen schneiden und Schnittgerade aufstellen. Schritt 2b, überprüfen, ob die Ebenengleichungen echt Vielfaches (ident) oder "unecht" Vielfaches sind, parallel!

Lagebeziehung dreier Ebenen

Drei Ebenen können in verschiedenen Konstellationen zueinander liegen. Sie können sich in einem Punkt schneiden, in einer Schnittgerade, sie können alle drei identisch sein oder ohne Schnittmenge zueinander.

Geometrisch kann hier sehr viel argumentiert werden, algebraisch kommt man aber meist schneller ans Ziel. Ein \((3\times 3)\) System kann

keine Lösung haben, dann haben die Ebenen weder einen Schnittpunkt, noch eine Schnittgerade noch sind sie ident
genau eine Lösung haben, dann schneiden sich die Ebenen in einem Schnittpunkt
unendlich viele Lösungen haben, dann schneiden sich die Ebenen in einer Schnittgerade oder sind ident.

Drei identische Ebenen sollten wir jedoch leicht erkennen, war es schon kein Problem zwei identische Ebenen zuvor zu erkennen. Somit haben wir algebraisch, komplett ohne geometrische Überlegungen, eine Fallunterscheidung. Beginnen wir daher gleich mit den Beispielen, wobei wir statt der Ebene \(e_1\) gleich \(I\) schreiben:

\begin{align*}
&I: & 2x+y+3z=1\\
&II: & x+y+z=2 \\
&III: & 3x-2y-z=0.
\end{align*}
Dieses Gleichungssystem hat die Lösung \((x;y;z)=(1;2;-1)\), die Ebenen schneiden sich also in einem Schnittpunkt \(S\) (hier geht es zum Lösen von linearen GLeichungssystemen).

Weiter geht es mit
\begin{align*}
&I: & 2x+y+3z=1\\
&II: & 3x+2y+4z=0\\
&III: & x+y+z=2. \\
\end{align*}
Beim Lösen des Gleichungssystems mit dem Additionsverfahren kommen wir auf einen Widerspruch, die Ebenen haben weder Schnittpunkt, noch -gerade, noch sind sie ident.

Sieht das Gleichungssystem nur ein klein wenig anders aus, erhalten wir ein anderes Resultat
\begin{align*}
&I: & 2x+y+3z=1\\
&II: & 3x+2y+4z=3\\
&III: & x+y+z=2, \\
\end{align*}
und als Lösungsmenge
\begin{align*}
L=\{ (-1-2z; z+3,z)\mid z\in\mathbb{R}\}.
\end{align*}
Diese Lösungsmenge können wir wieder als Gerade auffassen, setzen wir an
\begin{align*}
\vec X=\begin{pmatrix}
x \\ y\\ z
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-1-2z \\ z+3\\ z
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-1 \\ 3\\ 0
\end{pmatrix}+z\cdot \begin{pmatrix}
-2 \\ 1\\ 1
\end{pmatrix}
\end{align*}
oder in vertrauter Form:
\begin{align*}
g:\quad \vec X=\begin{pmatrix}
-1 \\ 3\\ 0
\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}
-2 \\ 1\\ 1
\end{pmatrix}
\end{align*}

 

Beispiele

Parallele Ebenen: Wähle \(c\) so, dass die beiden Ebenen parallel sind:
\begin{align*}
& e_1:\quad -2x+2y+z=0\\
& e_2:\quad 3x-3y+cz=1.\\
\end{align*}

Lösung

Für parallele Ebenen benötigen wir parallele Normalvektoren \(\vec n_1\) und \(\vec n_2\):
\begin{align*}
\vec n_1=\begin{pmatrix}
-2 \\ 2 \\ 1
\end{pmatrix}, \vec n_2 =\begin{pmatrix}
3 \\ -3 \\ -1,5
\end{pmatrix}.
\end{align*}
Die beiden Vektoren müssen Vielfaches voneinander sein, das gilt für \(c=-1,5\). Dann sind die Ebenen
\begin{align*}
& e_1:\quad -2x+2y+z=0\\
& e_2:\quad 3x-3y-1,5z=1.\\
\end{align*}
auch wirklich parallel und nicht ident.

Schnittgerade zweier Ebenen: Bestimme die Schnittgerade von
\begin{align*}
& e_1:\quad -2x+2y+z=0\\
& e_2:\quad x-2y+3z=1.\\
\end{align*}

Lösung

Die Schnittgerade hat die Formel
\begin{align*}
\vec X=\begin{pmatrix}
-1 \\ -1 \\ 0
\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}
4 \\ \frac{7}{2} \\ 1
\end{pmatrix}
\end{align*}

Lagebeziehung dreier Ebenen:
Bestimme die Lagebeziehung der drei Ebenen
\begin{align*}
& e_1:\quad x-y+2z=5\\
& e_2:\quad 2x-y-z=1\\
& e_3:\quad 7x-y-6z=1\\
\end{align*}

 

Lösung

Lösung: Die drei Ebenen schneiden sich im Schnittpunkt \((2;1;2)\).