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» Potenzgesetz

Bruchrechnung

Addition von Brüchen:
\begin{align*}
\frac{a}{c}+\frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}
\end{align*}

Haben die Brüche verschiedene Nenner, so muss man sie geeignet erweitern. Man kann einfach jeden Bruch mit dem Nenner des anderen erweitern:
\begin{align*}
\frac{a}{c}+\frac{b}{d}=\frac{ad}{cd}+\frac{bc}{cd}=\frac{ad+bc}{cd}
\end{align*}

Diese Methode funktioniert immer, kann aber zu ziemlich großen Zahlen führen und das Ergebnis liegt nicht unbedingt als vollständig gekürzter Bruch vor. Stattdessen kann man so erweitern, dass der neue Nenner das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden ursprünglichen Nenner ist. Falls die ursprünglichen Brüche vollständig gekürzt waren, ist es dann auch das Ergebnis. So musst du nicht mit unnötig großen Zahlen rechnen.

Multiplikation von Brüchen: \begin{align*}\frac{a}{c}\cdot \frac{b}{d} = \frac{ab}{cd}\end{align*}

Division von Brüchen: Durch einen Bruch zu teilen bedeutet, mit seinem Kehrbruch zu multiplizieren. \begin{align*}\frac{a}{c} : \frac{b}{d} = \frac{a}{c}\cdot \frac{d}{b} = \frac{ad}{bc}\end{align*}

Potenzgesetze

Spezialfälle sind die Exponenten 0 und 1: \(a^0=1\) und \(a^1=a\) für jede reelle Zahl \(a\).
Sind \(a\) und \(b\) reelle Zahlen und \(n\) und \(m\) ganze Zahlen, so gelten die folgenden Rechenregeln: \begin{align*} a^m\cdot a^n &= a^{m+n}\\ a^{-m} &=\frac{1}{a^m}\\ \frac{a^m}{a^n} &=a^m\cdot a^{-n} =a^{m-n}\\ a^m\cdot b^m &= (ab)^m\\ \frac{a^m}{b^m} &=(\frac{a}{b})^m\\ a^{\frac{m}{n}} &=\sqrt[n]{a^m}\\ (a^m)^n &=a^{m\cdot n} \end{align*}