Inhalt
» Vorbemerkung und Satz
» Beispiele
» Spezialfall Linearfaktoren für quadratische Gleichungen
» Fortgeschrittene Anwendungen und Beispiele

Vorbemerkung und Satz

Der Produkt-Null-Satz oder Produktsatz lautet, "Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist."
Mit der einen Richtung dieser Äquivalenz sind Kinder schon zu Beginn ihrer Schulzeit im Kontakt \footnote{"Tante, was ist 1000 mal 1000 mal 1000 mal 1000 mal 1000 mal 0 mal 1000 mal 1000?"}, dass die andere Richtung gilt, zeigt die folgende Überlegung. Sei \(a\cdot b=0\) und \(a\) eine Zahl ungleich null. Dann dürfen wir durch \(a\) dividieren und es folgt \(b=0\). Umgekehrt dürfen wir durch \(b\) dividieren, wenn \(b\neq 0\) gilt und es folgt \(a=0\). Das Produkt \(a\cdot b\) kann also nur dann null sein, wenn \(a\) oder \(b\) null sind.
Wir benötigen also für den Produktsatz (naheliegenderweise) ein Produkt, dieses Produkt soll natürlich aus so einfach wie möglichen Faktoren bestehen. Eine Möglichkeit einen Term zu faktorisieren ist die Polynomdivision (LINK), oftmals reicht jedoch herausheben/ausklammern. So ist die quadratische Gleichung
\begin{align*}
x^2-x=0
\end{align*}
schon vor dem Erlernen der Lösungsformel einfach durch die Umformung
\begin{align*}
x(x-1)=0
\end{align*}
lösbar. Der erste Faktor \(x\) ist Null, genau dann wenn \(x=0\) gilt. Analog ist der Faktor \(x-1\) Null, wenn \(x=1\) gilt und wir erhalten als Lösungsmenge \(L=\{ 0;1\}\).
Der Produktsatz tritt jedoch nicht nur beim Lösen von Gleichungen auf sondern ist oftmals nützlich in den Anwendungen.

Beispiele

Polynome dritten Grades: Berechnen Sie die Lösungen der kubischen Gleichung
\begin{align*}
x^3-3x^2+2x=0.
\end{align*}
Lösung: Wir haben keine Lösungsformel für kubische Gleichungen, diese ist auch mehr als kompliziert (Wikipedialink). In diesem speziellen Fall hilft uns jedoch ein Trick, wir heben \(x\) heraus. Dadurch erhalten wir
\begin{align*}
x(x^2-3x+2)=0.
\end{align*}
Der erste Faktor ist genau dann Null, wenn \(x=0\) gilt. der zweite Faktor ist eine quadratische Gleichung, diese lösen wir mit der Lösungsformel (link) und erhalten \(x=2\) oder \(x=1\). Dadurch hat die Gleichung die Lösungsmenge \(L=\{ 0,1,2\}\).
Die binomische Formel: Berechnen Sie die Lösungen der quadratischen Gleichung ohne Lösungsformel
\begin{align*}
x^2-4x+4=0.
\end{align*}
Lösung: Wir erkennen die binomische Formel und schreiben die Gleichung um als
\begin{align*}
(x-2)^2=0,
\end{align*}
dann gibt uns der Produktsatz die doppelte Lösung \(x=2\) und die Lösungsmenge \(L=\{ 2\}\).

Spezialfall Linearfaktoren für quadratische Gleichungen

Besitzt man eine gradratische Gleichung
\begin{align*}
ax^2+bx+c=0
\end{align*}
und kennt ihre Lösungen \(x_1\) und \(x_2\), so bringt uns eine kurze Überlegung zum Schluss, dass diese Gleichung auch als
\begin{align*}
a(x-x_1)(x-x_2)=0
\end{align*}
darstellbar sein muss. Diese Vorgehensweise tritt zum Beispiel bei der Partialbruchzerlegung auf, auch wird sie bei der Herleitung des Satzes von Vieta verwendet.
Für Interessierte, die kurze Begründung ist, die Gleichungen sind äquivalent, da sie die selbe Lösungsmenge besitzen. Die Gleichungen sind sogar gleich wenn man einen Koeffizitientenvergleich für \(x^2\), beide Gleichungen haben hier ein \(a\), durchführt.

Fortgeschrittene Anwendungen und Beispiele

In der Kurvendiskussion: Oftmals muss man in der Kurvendiskussion den Produktsatz anwenden. Betrachten wir im Folgenden die Funktion \(f\) mit \(f(x)=(x-2)\cdot e^{x^2}\). In der Kurvendiskussion möchte man Funkionen zeichnen, ein wichtiger Anhaltspunkt dabei sind die Nullstellen. Wie findet man die Nullstellen einer Funktion? Dies geschieht mit Hilfe der Gleichung \(f(x)=0\). Das führt uns auf die Gleichung
\begin{align*}
(x-2)\cdot e^{x^2}=0.
\end{align*}
Der erste Faktor ist Null genau dann wenn \(x=2\). Wie wir aus der Funktionentheorie wissen, hat die Exponentialfunktion keine Nullstellen. Daher besitzt unsere Funktion \(f\) nur die Nullstelle \(x=2\).
In der Differenzialrechnung sucht man dann nicht nur die Nullstellen der Funktion sondern auch die Nullstellen der Ableitung(en), in vielen klassischen Schulbeispielen hilft uns der Produktsatz. Sucht man zum Beispiel die Nullstellen der Funktion \(f(x)=(x^2-1)\cdot e^{2x+1}\) so muss man analog zum vorigen Beispiel die Gleichung
\begin{align*}
(x^2-1)\cdot e^{2x+1}=0
\end{align*}
lösen. Der erste Faktor \((x^2-1)\) ist genau dann Null, wenn \(x_{1,2}=\pm 1\) gilt. Der zweite Faktor \(e^{2x+1}\) besitzt (aus der Funktionentheorie bekannt) gar keine Nullstellen, daher wissen wir, dass \(f\) nur die zwei Nullstellen \(N_1=(-1;0)\) und \(N_2=(1;0)\) besitzt. Suchen wir lokale Extremwerte der Funktion, so müssen wir die Nullstellen der ersten Ableitung \(f'\) finden. Man berechnet diese mit Hilfe der Differentialrechnung (Link)
\begin{align*}
f'(x)=2x^2\cdot e^{2x+1}+2x\cdot e^{2x+1}-2\cdot e^{2x+1}.
\end{align*}
Die Nullstellen dieser Funktion sind ohne Produktsatz für uns nicht berechenbar. Wir heben jedoch die Exponentialfunktion heraus und setzen Null
\begin{align*}
2e^{2x+1}\cdot (x^2+x-1)=0.
\end{align*}
Der erste Faktor \(2e^{2x+1}\) ist wie zuvor immer ungleich Null, also kann unsere Funktion \(f'\) nur genau dann Nullstellen besitzen, wenn für den zweiten Faktor gilt
\begin{align*}
x^2+x-1=0.
\end{align*}
Verwenden wir darauf die quadratische Lösungsformel erhalten wir die Lösungen \(x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\).
Beim Berechnen von Eigenwerten bei Determinanten (LINK) hilft uns oftmals der Produktsatz, so zum Beispiel bei oberen Dreiecksmatrizen. Betrachten wir die Matrix \(A\) mit
\begin{align*}
A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 7 & -2 \\
0 & 0 & 6
\end{pmatrix}
\end{align*}
so führt uns die Suche nach Eigenwerten auf die folgende Gleichung
\begin{align*}
& \det (A-t\cdot I)=0 \\
\Rightarrow & (1-t)(7-t)(6-t)=0.
\end{align*}
Wir erhalten mit Hilfe des Produktsatzes die drei Eigenwerte 1, 7 und 6.