Inhalt:
»Vorbemerkung
»\((2 \times 2)\)-Systeme
»Lösungsfälle für \((2 \times 2)\)-Systeme
»\((3 \times 3)\)-Systeme
»Beispiele
»Anmerkungen und geometrische Beispiele

Vorbemerkung

Lineare Gleichungssysteme, insbesondere mit zwei GLeichungen und zwei Unbekannten, sind ein wichtiges Themengebiet des Mathematikunterrichts. Wir kürzen so ein System als \((2\times 2)\)-System ab, 2 Gleichungen, 2 Unbekannte. In diesem Spezialfall werden üblicherweise drei Lösungsverfahren vorgestellt, das Einsetzungsverfahren, das Gleichsetzungsverfahren sowie das Additionsverfahren. Jedes Verfahren hat seine Vorzüge und geht je nach System per Hand schneller oder langsamer.

Im allgemeinen Fall hat sich jedoch das Additionsverfahren durchgesetzt, da mit dem damit verwandten Gauß-Algorithmus ein praktisches Kochrezept exisitert. Wir werden dieses Verfahren an \((2\times 3)\)- und \((3\times 3)\)-Systemen vorstellen.

Wir werden einige Systeme in den Erklärungen durchrechnen weshalb wir es diesmal in den Beispielen nur die Lösungen ohne Rechenweg angeben.

Das lineare \((2\times 2)\)-System

Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten und zwei Gleichungen hat die Form
\begin{align*}
&I: & ax+by=c\\
&II: & dx+ey=f,
\end{align*}
dabei sind \(x\) und \(y\) unsere Unbekannte und \(a,b,c,d,e\) sowie \(f\) die Parameter der Gleichung in deren Abhängigkeit wir das Gleichungssystem lösen wollen. Betrachten wir ein erstes System:
\begin{align*}
&I: & x+y=3\\
&II: & x-y=1.
\end{align*}
Mit einiger (hoffentlich kurzer) Überlegung kommen wir auf \((x;y)=(2;1)\). Wie können wir dies nun systematisch lösen? Eine Möglichkeit wäre, in beiden Gleichungen nach \(x\) aufzulösen. Wir erhalten
\begin{align*}
&I: & x=3-y\\
&II: & x=y+1.
\end{align*}
Nun können wir die Gleichungen gleichsetzen, da in beiden Gleichungen nach \(x\) aufgelöst worden ist, und die rechten Seiten daher gleich sein müssen. Dies ergibt
\begin{align*}
& 3-y=y+1,\\
& \Rightarrow y=1,
\end{align*}
dies widerum in \(I\) oder \(II\) eingesetzt ergibt \(I:x=3-1=2\) beziehungsweise \(II:x=1+1=2\). Wir erhalten als Lösung wie oben \((x;y)=(2;1)\) und haben das Gleichungssystem gelöst! Die Vorgehensweise war also, in beiden Gleichungen nach der selben Variable auflösen, die Gleichungen im Anschluss gleichsetzen und die lineare Gleichung dann lösen.

Betrachten wir das nächste System:
\begin{align*}
&I: & x=2+2y\\
&II: & x-y=1.
\end{align*}
Hier ist in der ersten Gleichung bereits nach \(x\) aufgelöst, es eignet sich das Einsetzungsverfahren. Wir setzen \(x=2+2y\) in \(II\) für \(x\) ein und erhalten
\begin{align*}
& II: (2+2y)-y=1,\\
& \Rightarrow y=-1.
\end{align*}
Die Lösung für \(y\) setzen wir in unsere erste Gleichung ein und erhalten
\begin{align*}
& y=-1 in I: x=2+2\cdot (-1)=0\\
\end{align*}
Unsere Lösung ist also \(x;y)=(0;-1)\). Das Einsetzungsverfahren eignet sich immer dann, wenn in einer Gleichung bereits nach \(x\) oder \(y\) aufgelöst wurde. Sollte euch aufgefallen sein, dass Gleichsetzungs- und Einsetzungsverfahren sehr stark ähnlichen, richtig gesehen! Natürlich ist es auch "egal", ob ihr euch auf \(x\) oder \(y\) konzentriert, oft ist jedoch eine der Variablen aufgrund leichterer Koeffizienten geeigneter!

Betrachten wir noch einmal das vorige Gleichungssystem
\begin{align*}
&I: & x+y=3\\
&II: & x-y=1.
\end{align*}
Bei den Äquivalenzumformungen hat man gelernt, dass man links und rechts einer Gleichung dasselbe addieren darf. Es spricht also nichts dagegen, dass wir zur Gleichung \(I\) die Gleichung \(II\) addieren. Dies ergibt
\begin{align*}
&I+II: & (x+y)+(x-y)=3+1\\
&\Rightarrow 2x=4\\
&\Rightarrow x=2,
\end{align*}
dies können wir in \(I\) oder \(II\) einsetzen, um wie oben \(y=1\) zu erhalten. Warum hat das geklappt? Die unterschiedlichen Vorzeichen vor \(y\) sorgten dafür, dass dieses wegfällt. Dies ist die Situation, wenn das Additionsverfahren sehr geeignet ist. Natürlich kann man dieses Situation auch erzwingen. Betrachten wir
\begin{align*}
&I: & 2x+3y=1\\
&II: & 5x-7y=2.
\end{align*}
Multiplizieren wir die obere Gleichung mit 7 und die untere mit 3 ergibt sich
\begin{align*}
&I: & 14x+21y=7\\
&II: & 15x-21y=6,
\end{align*}
\(I+II\) ergibt dann
\begin{align*}
&I+II: & 29x+=13\\
&\Rightarrow x=\frac{13}{29}.
\end{align*}
Unsere Lösung für \(x\) in Gleichung \(I\) (oder \(II\)) oben eingesetzt bringt uns \(y\)
\begin{align*}
&I: & 2\cdot\frac{13}{29}+3y=1\\
&\Rightarrow y=\frac{3}{87}.
\end{align*}
Das wirkt umständlich, ein Vorteil ist jedoch, dass diese Vorgehensweise später auf Brüche führt als die anderen zwei Verfahren. Probiert es aus! Beim Additionsverfahren darf man anstatt Gleichungen zu addieren natürlich auch subtrahieren,
\begin{align*}
&I: & x+y=3\\
&II: & x+2y=5.
\end{align*}
Wir subtrahieren \(II-I\) und erhalten
\begin{align*}
&II-I: & y=2
\end{align*}
und damit \(x=1\).

Lösungsfälle für \((2\times 2)\)-Systeme

Jedes unserer Gleichungssysteme hatte bisher eine Lösung? Ist dem immer so? Nein, ganz einfach konstruieren wir
\begin{align*}
&I: & x+y=1\\
&II: & x+y=2,
\end{align*}
offensichtlich ein Widerspruch! Das System hat keine Lösung. Gibt es weitere Fälle? Ja, es gibt einen dritten, betrachten wir
\begin{align*}
&I: & x+y=1\\
&II: & x+y=1,
\end{align*}
dieses Gleichungssystem hat offensichtlich unendlich viele Lösungen. Denn jede Lösung, die \(I\) erfüllt, erfüllt auch \(II\), zum Beispiel
\begin{align*}
(1;0), (0;1), (2;-1), (-1;2), (1000;-999),
\end{align*}
und so weiter. Das sind alle Lösungsfälle. Ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten und zwei Gleichungen hat also genau eine, keine, oder unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Erklärung findet ihr (hier), dazu benötigen wir jedoch die linearen Funktionen/Geraden in der Ebene. Natürlich müssen die Fälle nicht immer so offensichtlich sein, andere Möglichkeiten wären

\begin{align*}
&I: & 3x+y=4\\
&II: & 6x=2-2y,
\end{align*}
und
\begin{align*}
&I: & 3x+y=4\\
&II: & 6x=8-2y.
\end{align*}

Lösungen von \((3\times 2)\)-Systemen
Ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten und drei Gleichungen hat die folgende Form
\begin{align*}
&I: & ax+by=c\\
&II: & dx+ey=f\\
&III: & gx+hy=i.
\end{align*}
Das Einsetzungsverfahren und das Gleichsetzungsverfahren führt hier zu langen Rechnungen in denen man oft die Übersicht verliert. Was hilft ist das Additionsverfahren. Betrachten wir ein Beispiel
\begin{align*}
&I: & 2x+y=4\\
&II: & x+y=3 \\
&III: & 3x-2y=-1.
\end{align*}
Wir versuchen nun mit dem Additionsverfahren in \(II\) und \(III\) die Variable \(x\) (oder \(y\)) zu elimieren. Dazu multiplizieren wir zuerst wieder passend
\begin{align*}
&3\cdot I=I': & 6x+3y=12\\
&6\cdot II=II': & 6x+6y=18 \\
&2\cdot III=III': & 6x-2y=2.
\end{align*}
Dann erhalten wir mit \(II-I\) und \(III-I\)
\begin{align*}
& I': & 6x+3y=12\\
& II'-I': & 3y=6 \\
& III'-I': & -5y=-10.
\end{align*}
Wichtig hierbei ist nun, dass in \(II\) und \(III\) bereits das selbe Ergebnis, nämlich \(y=2\) erscheint. Sonst hätte das GLeichungssystem keine Lösung. Nun setzen wir die gemeinsame Lösung \(y=2\) in \(I\) ein und erhalten
\begin{align*}
& I: & 6x+6=12\\
& \Rightarrow x=1
\end{align*}
und als Lösung \((x;y)=(1;2)\). Auch \((3\times 2)\)-Systeme können keine oder unendlich viele Lösungen haben. Eine geometrische Interpretation dafür erhaltet ihr (hier).

\((3\times 3)\)-Systeme

Ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten \(x,y,z\) hat die Form
\begin{align*}
&I: & ax+by+cz=d\\
&II: & ex+fy+gz=h\\
&III: & ix+jy+kz=l.
\end{align*}
Nun wurde es langsam schwer mit den Buchstaben. Üblicherweise schreibt man es daher als
\begin{align*}
&I: & a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_1\\
&II: & a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z=b_2\\
&III: & a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z=b_3.
\end{align*}
auf, dabei gibt \(a_{ij}\) den Parameter in der \(i\)-ten Zeile der \(j\)-ten Unbekannte an, \(b_i\) analog. Kann man einfache \((3\times 2)\)-Systeme manchmal noch übersichtlich mit dem Einsetzungsverfahren lösen, geht dies üblicherweise spätestens jetzt schief. Wir greifen erneut auf das Additionsverfahren zurück. Wie zuvor, im ersten Schritt versuchen wir die \(x\)-Variablen in \(II\) und \(III\) zu "entfernen". Multiplizieren wir also in unserem Beispiel wieder passend und aus
\begin{align*}
&I: & 2x+y+3z=1\\
&II: & x+y+z=2 \\
&III: & 3x-2y-z=0.
\end{align*}
wird
\begin{align*}
&3\cdot I=I': & 6x+3y+9z=3\\
&6\cdot II=II': & 6x+6y+6z=12 \\
&2\cdot III=III': & 6x-4y-2z=0
\end{align*}
und rechnen \(II'-I'\) und \(III'-II'\). Zur Übersicht empfiehlt es sich, die Gleichung \(I\) (beziehungsweise \(I'\)) immer mitzuschreiben.

\begin{align*}
& I': & 6x+3y+9z=3\\
&II'-I'=II'': & 3y-3z=9 \\
&III'-I'=III'': & -7y-11z=-3.
\end{align*}
Der Trick ist nun, \(II''\) und \(III''\) bilden ein \((2\times 2)\)-System. Dies können wir lösen, mit einem der drei Verfahren zuvor. Es bietet sich an, im Additionsverfahren zu bleiben (um die Methoden nicht zu durchmischen).
\begin{align*}
& I': & 6x+3y+9z=3\\
&7II''=II''': & 21y-21z=63 \\
&3III''=III''': & -21y-33z=-9.
\end{align*}
und \(II'''+III'''\) ergibt \(-54z=54\) und damit erhalten wir \(z=-1\). Das eingesetzt in \(II'''\) ergibt für \(y=2\) und beides in \(I'\) bringt uns \(x=1\). Damit erhalten wir \((x;y;z)=(1;2;-1)\).

Ob ihr übrigens \(I'\), \(II''\), \(III''\) und so weiter schreibt, oder bei \(I\), \(II\) und \(III\) bleibt, ist euch überlassen.

Betrachten wir nun (abkürzend geschrieben)
\begin{align*}
&I: & 2x+y+3z=1\\
&II: & 3x+2y+4z=0\\
&III: & x+y+z=2, \\
\end{align*}
und bereiten es auf das Additionsverfahren vor
\begin{align*}
&I: & 6x+3y+9z=3\\
&II: & 6x+4y+8z=0\\
&III: & 6x+6y+6z=12 \\
\end{align*}
und rechnen \(III-I\) und \(II-I\):
\begin{align*}
&I: & 6x+3y+9z=3\\
&II: & 1y-1z=-3\\
&III: & 3y-3z=9. \\
\end{align*}
Setzen wir das Additionsverfahren für \(II\) und \(III\) weiter fort, rechnen wir demnach \(III-3II\), erhalten wir einen Widerspruch, nämlich
\begin{align*}
&III-3II: & 0=18 ,\\
\end{align*}
das Gleichungssystem hat keine Lösung!

Betrachten wir ein weiteres, ähnlich wie zuvor aussehendes System:
\begin{align*}
&I: & 2x+y+3z=1\\
&II: & 3x+2y+4z=3\\
&III: & x+y+z=2, \\
\end{align*}
erneut wollen wir also das Additionsverfahren durchführen und bereiten dies vor:
\begin{align*}
&I: & 6x+3y+9z=3\\
&II: & 6x+4y+8z=6\\
&III: & 6x+6y+6z=12 \\
\end{align*}

Rechnen wir \(III-I\) und \(II-I\):
\begin{align*}
&I: & 6x+3y+9z=3\\
&II: & 1y-1z=3\\
&III: & 3y-3z=9. \\
\end{align*}
Setzen wir das Additionsverfahren für \(II\) und \(III\) weiter fort, rechnen wir demnach \(III-3II\), erhalten wir eine Nullzeile
\begin{align*}
&I: & 6x+3y+9z=3\\
&II: & y-z=3\\
&III: & 0=0. \\
\end{align*}
Das bedeutet, wir haben unendlich viele Lösungen, da unser Gleichungssystem unterbestimmt ist. Wir können unsere Lösung nun in Abhängigkeit von zum Beispiel \(z\) aufschreiben. indem wir \(x\) und \(y\) durch \(z\) ausdrücken. Leichter geht dies in \(II\),
\begin{align*}
&II: & y=z+3\\
&I: & 6x+3y+9z=3\\
& \Rightarrow x=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}z\\
& \Rightarrow x=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}(z+3)-\frac{3}{2}z=-1-2z
\end{align*}

 


Daher erhalten wir als Lösungsmenge \(L\)
\begin{align*}
L=\{ (-1-2z; z+3,z)\mid z\in\mathbb{R}\}.
\end{align*}

Beispiele

Additionsverfahren: Löse das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren
\begin{align*}
& 2x-3y=5\\
& 3x+3y=0.
\end{align*}

Lösung: \((1;-1)\).

Einsetzungsverfahren: Löse das Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren
\begin{align*}
& 2x-3y=5\\
& x=y.
\end{align*}

Lösung: \((1;-1)\).

Gleichsetzungsverfahren: Löse das Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren
\begin{align*}
& y=3-2x\\
& y=7x+3.
\end{align*}

Lösung

\((0;3)\).

\((3\times 2)\): Löse das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren
\begin{align*}
& 2x-3y=5\\
& 3x+3y=0\\
& 2x-2y=0
\end{align*}

Lösung

Lösung: Keine Lösung, Widerspruch!

\((3\times 2)\): Löse das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren
\begin{align*}
& 2x-2y=4\\
& 2x-3y=5\\
& 3x+3y=0\\
\end{align*}

Lösung

Lösung: \((1;-1)\).

\((3\times 3)\): Löse das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren
\begin{align*}
& x+y+z=5\\
& x-y+2z=4\\
& 3x-2y-7z=-13\\
\end{align*}

Lösung

Lösung: \((1;1;2)\).

Anmerkungen und geometrische Beispiele

Das Additionsprinzip basiert auf Carl Friedrich Gauß und ist in verfeinerten Varianten heutzutage in unseren Computern fest verankert. Daraus motiviert sind auch einige abkürzende Schreibweisen, um zum Beispiel wie folgt einen Schritt zu sparen
\begin{align*}
&I: & 2x+y+3z=1\\
&II: & x+y+z=2 \\
&III: & 3x-2y-z=0.
\end{align*}
Daraus folgt dann schneller
\begin{align*}
& I: & 2x+y+3z=1\\
&6II-3I: & 3y-3z=9 \\
&2III-3I: & -5y-11z=0
\end{align*}
und so weiter.
Noch kürzer geht es, wenn man \(x,y,z,=\) weglässt,
\begin{align*}
\begin{matrix}
2&1&3&\vert 1 \\
1&1&1&\vert 2\\
3&-2&-1&\vert 0,
\end{matrix}
\end{align*}
und damit rechnet. Natürlich braucht das Übung.

Wir greifen hier kurz auf die geometrische Interpretation von linearen \((2\times 2)\) Gleichungssystemen vor. Mehr dazu findet ihr hier.
Das Gleichungssystem
\begin{align*}
&I:\quad x+3 y=7\\
&II:\quad 2 x-y=0
\end{align*}
nach \(y\) aufgelöst ergibt
\begin{align*}
&I:\quad y=-\frac{x}{3}+\frac{7}{3}\\
&II:\quad y=2x
\end{align*}
und wir erkennen an \(k_I =-\frac{1}{3}\neq 2=k_{II}\), dass sich die Geraden schneiden müssen. Alternativ können wir die beiden Normalvektoren \(n_I=\begin{pmatrix}
1 \\ 3
\end{pmatrix}\) und \(n_{II}=\begin{pmatrix}
2 \\ -1
\end{pmatrix}\) ablesen, die dazugehörigen Richtungsvektoren berechnen \(v_I=\begin{pmatrix}
-3 \\ 1
\end{pmatrix}\) und \(v_{II}=\begin{pmatrix}
1 \\ 2
\end{pmatrix}\) und erkennen, dass diese nicht parallel sind. Die Geraden schneiden sich demnach, das Gleichungssystem muss eine Lösung besitzen. Schauen wir nun auf ein weiteres Beispiel
\begin{align*}
&I:\quad x+3 y=7\\
&II:\quad 2 x+6y=15
\end{align*}
und lösen beide Gleichungen nach \(y\) auf:
\begin{align*}
&I:\quad y=-\frac{x}{3}+\frac{7}{3}\\
&II:\quad y=-\frac{x}{3}+\frac{15}{6}.
\end{align*}
Wir sehen, dass beide Gleichungen die selbe Steigung \(k_I=k_{I}=-\frac{1}{3}\) besitzen, aber unterschiedliche \(y\)-Abschnitte \(d_I=\frac{7}{3}\neq\frac{15}{6}=d_{II}\). Es handelt sich demnach um zwei parallele Geraden, das Gkeichungssystem besitzt keine Lösung